Πόσα ζεύγη ♥♥ προκύπτουν μετά από 13 αντικαταστάσεις;

Ο Aριστείδης έγραψε στον πίνακα το σύμβολο ♣. Έπειτα επανέλαβε την ακόλουθη διαδικασία δεκατρείς φορές: έσβηνε ό,τι υπήρχε και έγραφε μια νέα ακολουθία συμβόλων, αντικαθιστώντας σε κάθε βήμα κάθε ♥ με το ζεύγος ♣♥ και κάθε ♣ με το ζεύγος ♥♣ της αρχικής ακολουθίας.

Για παράδειγμα, την ακολουθία ♣♥♥ θα την αντικαθιστούσε με ♥♣♣♥♣♥.

Πόσα ζεύγη ♥♥ (χωρίς άλλο σύμβολο ανάμεσά τους) υπάρχουν στον πίνακα όταν τελειώσει;

Τα ζεύγη μπορούν να επικαλύπτονται· π.χ. στην ακολουθία ♥♥♥♥ υπάρχουν τρία ζεύγη ♥♥.

Πόσα τρίγωνα ισορροπούν έναν κύκλο;

Διαθέτουμε τέσσερα διαφορετικά σχήματα: τετράγωνο, κύκλο, τρίγωνο και αστέρι. Κάθε σχήμα έχει σταθερό, αλλά διαφορετικό, βάρος. Στην εικόνα παρακάτως, τα αντίστοιχα σύνολα σχημάτων ισορροπούν μεταξύ τους.

Πόσα λεπτά περπάτησε ο υπουργός;

Ο υπουργός έχει προσωπικό οδηγό που κάθε πρωί φεύγει από το υπουργείο σε σταθερή ώρα, πάει στο σπίτι του υπουργού, τον παραλαμβάνει και επιστρέφουν στο υπουργείο. Ο υπουργός ξυπνά πάντα την ίδια ώρα και το αυτοκίνητο φτάνει ακριβώς όταν είναι έτοιμος να φύγει. 

Σήμερα ο υπουργός ξύπνησε νωρίτερα και ήταν έτοιμος να φύγει μία ώρα νωρίτερα από το συνηθισμένο, οπότε αποφάσισε να ξεκινήσει περπατώντας προς το αυτοκίνητο (το οποίο αναχώρησε από το υπουργείο στην κανονική ώρα).

Αντίστροφες Ηλικίες Μητέρας–Υιου

Ο Τριαντάφυλλος γεννήθηκε όταν η μητέρα του γιόρταζε τα 27α γενέθλιά της. Πόσες φορές το πολύ μπορεί να συμβεί ώστε η ηλικία του Τριαντάφυλλου να είναι ίδια με την ηλικία της μητέρας του διαβασμένη ανάποδα;

Σημείωση: Αγνοούνται τυχόν προπορευόμενα μηδενικά — π.χ. το 470 διαβασμένο ανάποδα θεωρείται 74.

Ρολόι χωρίς λεπτοδείκτη

Σε ένα ρολόι λείπει ο λεπτοδείκτης. Η γωνία του δείκτη ώρας από τις 12 είναι 137°. Πόσα λεπτά έχουν περάσει από την τελευταία ακέραιη ώρα;

Ο δρομέας και το πολύγωνο των 40 πλευρών

Ένας δρομέας προπονείται σε μια πίστα που έχει το σχήμα κανονικού 40-γώνου. Το πρόγραμμα της προπόνησής του είναι το εξής: αρχικά τρέχει από την αρχική κορυφή μέχρι την επόμενη (προς τη φορά του ρολογιού) και κάνει ένα μικρό διάλειμμα εκεί. 

Συνεχίζει με τον ίδιο τρόπο μέχρι να ξαναφτάσει στην αρχική κορυφή και να κάνει εκεί διάλειμμα. Στη συνέχεια ξεκινά πάλι, αλλά αυτή τη φορά κάνει διάλειμμα μετά από κάθε δύο πλευρές. Όταν ξαναφτάσει στην αρχική κορυφή, αυξάνει το μήκος κάθε διαδρομής κατά μία πλευρά, κ.ο.κ.

Διπλή όψη ή επανατροφοδότηση;

Ένας εκτυπωτής γραφείου μπορεί να τυπώνει είτε μονόπλευρα είτε αμφίπλευρα. Η μονόπλευρη εκτύπωση χρειάζεται 3 δευτερόλεπτα ανά σελίδα, ενώ η αμφίπλευρη 9 δευτερόλεπτα ανά φύλλο. 

Η Kατερίνα θέλει να τυπώσει μια εργασία 18 σελίδων, εκτυπώνοντας και στις δύο όψεις του χαρτιού.

Πόση Πληροφορία Μπορεί να Μεταδώσει;

Κάθε μέρα ένας ραδιοσταθμός εκπέμπει μια ακολουθία 15 δυαδικών ψηφίων (0/1). Η κατάσκοπος γνωρίζει εκ των προτέρων τα 15 bits της ημέρας, αλλά μπορεί να αλλοιώσει ακριβώς ένα από αυτά πριν την εκπομπή (να το γυρίσει από 0 σε 1 ή αντίστροφα). 

Με αυτόν τον περιορισμό, ζητείται πόση καθαρή πληροφορία (σε μηνύματα/ημέρα ή bits/ημέρα) μπορεί να κωδικοποιεί και να στέλνει στον σύνδεσμό της.

Ο Βασιλιάς και οι Ιππότες στο Δείπνο

Ο βασιλιάς και οι 100 ιππότες κάθονται γύρω από ένα στρογγυλό τραπέζι. Οι χορτοφάγοι σερβίρονται τυρί, ενώ όλοι οι υπόλοιποι σερβίρονται κοτόπουλο.

Ο βασιλιάς όμως πήρε μικρότερη μερίδα κοτόπουλου από τον ιππότη στα αριστερά του και διέταξε να περάσουν όλοι το πιάτο τους δεξιά.

Διαδρομές σε Κουτί Plinko

Ένας δίσκος αφήνεται από την κορυφή ενός κουτιού Plinko και γλιστρά προς τα κάτω μέχρι να βγει από το κάτω άνοιγμα. 

Πόσες διαφορετικές διαδρομές μέσα από το κουτί είναι δυνατές; (Ένα παράδειγμα διαδρομής φαίνεται στο σχήμα.)

Το Κλασικό Πρόβλημα των 12 Νομισμάτων με Ζυγαριά Ισορροπίας

Κάθε ζύγιση με ζυγαριά ισορροπίας έχει τρία πιθανά αποτελέσματα:

• L: γέρνει αριστερά

• R: γέρνει δεξιά

• B: ισορροπεί

Άρα, με 3 ζυγίσεις μπορούμε να έχουμε έως $3^3 = 27$ διαφορετικά σενάρια.

Το πρόβλημα με τα 12 νομίσματα και 1 πλαστό (που μπορεί να είναι είτε βαρύτερο είτε ελαφρύτερο) έχει 24 πιθανά σενάρια (12 νομίσματα × 2 περιπτώσεις: βαρύτερο ή ελαφρύτερο). Επειδή 24 ≤ 27, η επίλυση είναι θεωρητικά δυνατή.

Αλήθεια ή Ψέμα; Βρείτε το Γινόμενο

Η Άννα, η Βασιλική, η Χριστίνα και η Δανάη τράβηξαν χωρίς επαναλήψεις τους αριθμούς 3, 6, 9 και 12 από έναν σάκο με χαρτάκια που έγραφαν αυτούς τους τέσσερις αριθμούς. 

Γνωρίζουμε ότι δύο από αυτές λένε πάντα ψέματα και οι άλλες δύο λένε πάντα την αλήθεια.

Οι δηλώσεις τους είναι οι εξής:

• Άννα: «Πήρα διπλάσιο από τη Δανάη.»

• Βασιλική: «Πήρα τριπλάσιο από τη Δανάη.»

Διαδρομές με Περιορισμό – Από το A στο B

Στο παρακάτω διάγραμμα, πόσες διαδρομές υπάρχουν από το σημείο A στο σημείο B που χρησιμοποιούν κάθε βέλος το πολύ μία φορά; (Μία τέτοια διαδρομή είναι σχεδιασμένη με μωβ.)

Μέγιστος Αριθμός Αθλητών στη Σειρά

Μέλη μιας ομάδας ποζάρουν για φωτογραφία σε σειρά. Φορούν φανέλες με διακριτούς θετικούς ακέραιους αριθμούς. 

Ο δεξιότερος (από την πλευρά του φωτογράφου) έχει τον αριθμό 72 και για κάθε άλλον αθλητή ο αριθμός του διαιρεί τον αριθμό του γειτονικού του στα δεξιά. Πόσοι το πολύ αθλητές θα μπορούσαν να στέκονται εκεί;

Μεταφορές Γάλακτος σε Αλυσίδα Ρομπότ

Υπάρχουν 2022 ρομπότ σε μια σειρά. Το 1ο έχει 1 λίτρο γάλα, το 2ο έχει 2 λίτρα, …, έως το 2022ο που έχει 2022 λίτρα. 

Το 1ο μεταφέρει στο 2ο το μισό από το γάλα του και μισό λίτρο· στη συνέχεια το 2ο μεταφέρει στο 3ο το μισό από το γάλα του και μισό λίτρο, και ούτω καθεξής, μέχρι το 2021ο να μεταφέρει στο 2022ο το μισό από το γάλα του και μισό λίτρο.

Πόσο γάλα (σε λίτρα) θα έχει το 2022ο ρομπότ στο τέλος; 

Χρόνος Τρέξιμου με Μείωση Ρυθμού

Ο Αρτέμης έτρεξε μια κυκλική διαδρομή μήκους 18 km. Ξεκίνησε με σταθερό ρυθμό, αλλά σε κάποιο σημείο, λόγω κόπωσης, μείωσε τον ρυθμό του κατά 25% για το υπόλοιπο της διαδρομής. 

Αφού ολοκλήρωσε το τρέξιμο, διαπίστωσε στο έξυπνο ρολόι του ότι πέρασε διπλάσιο χρόνο τρέχοντας με τον μειωμένο ρυθμό σε σχέση με τον αρχικό. Ποιο ήταν το μήκος του τμήματος της διαδρομής που έτρεξε με τον αρχικό ρυθμό;

Νίκες παικτών σε Τουρνουά Βόλεϊ

Σε ένα τουρνουά βόλεϊ συμμετέχουν οι Άννα, Βασίλης, Χρήστος, Δημήτρης, Εύα και Φώτης. Κάθε αγώνας είναι 2 εναντίον 2, και κάθε δυάδα παικτών έπαιξε ακριβώς μία φορά απέναντι σε κάθε άλλη δυάδα. 

Γνωρίζουμε ότι η Άννα πέτυχε 30 νίκες, ο Δημήτρης 12 νίκες και ο Φώτης 18 νίκες. Πόσες νίκες πέτυχε ο Βασίλης;

Ελάχιστος/Μέγιστος Αριθμός Σελίδων

Ένα κείμενο συνεχούς ροής στοιχειοθετήθηκε αρχικά με 60 γραμμές/σελίδα. Όταν ο αριθμός αυτός μειώθηκε σε 57 γραμμές/σελίδα, ο αριθμός σελίδων αυξήθηκε κατά 2. 

Να βρεθούν ο ελάχιστος και ο μέγιστος δυνατός αρχικός αριθμός σελίδων του εγγράφου και να δοθεί το άθροισμά τους.

Η Στατιστική Πίσω από την Παρασκευή 13

Είναι η 13η μέρα του μήνα πιο πιθανό να πέφτει Παρασκευή από οποιαδήποτε άλλη μέρα, ή είναι απλώς σύμπτωση; 

Η απάντηση είναι ναι — και αυτό προκύπτει από τη στατιστική του Γρηγοριανού ημερολογίου. 

Σε έναν κύκλο 400 ετών, η 13η μέρα του μήνα πέφτει Παρασκευή 688 φορές στις 4800 συνολικές περιπτώσεις. Οι άλλες μέρες κατανέμονται ως εξής:

Τελευταίο Κεράσι — Βέβαιη Νίκη με Σωστή Κίνηση

Μπροστά σου και στον φίλο σου Aλέξανδρο υπάρχουν 4 μπολ κερασιών που περιέχουν, αντίστοιχα, 5, 6, 7 και 8 κεράσια. 

Παίζετε εναλλάξ: σε κάθε γύρο επιλέγετε ένα μπολ και παίρνετε ένα ή περισσότερα κεράσια από αυτό. Εσύ παίζεις πρώτος και θέλεις να είσαι σίγουρος ότι θα πάρεις το τελευταίο κεράσι. Πόσα κεράσια πρέπει να πάρεις — και από ποιο μπολ;