▪ Φραγμένη συνάρτηση (Μεθοδολογία)

Όταν θέλουμε να δείξουμε ότι μία συνάρτηση είναι φραγμένη στο πεδίο ορισμού της μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε έναν από τους παρακάτω τρόπους:

1) Να χρησιμοποιήσουμε τον ορισμό αποδεικνύοντας ότι το σύνολο τιμών της είναι φραγμένο, με άλλα λόγια να δείξουμε ότι όλες οι τιμές της συνάρτησης βρίσκονται ανάμεσα σε δύο πραγματικούς αριθμούς. 

2) Να δείξουμε ότι η συνάρτηση έχει σε κάθε σημείο του πεδίου ορισμού της πεπερασμένα πλευρικά όρια και αν το πεδίο ορισμού της είναι μη φραγμένο π.χ. προς το συν άπειρο, να δείξουμε ότι το όριο της στο συν άπειρο είναι πεπερασμένο.

3) Να εκμεταλλευτούμε την ενδεχόμενη συνέχεια της. Αν το πεδίο ορισμού της είναι κλειστό και φραγμένο διάστημα και η συνάρτηση συνεχής, τότε είναι φραγμένη (Θεώρημα Weierstrass). Αν το πεδίο ορισμού της είναι άπειρο διάστημα, έστω π.χ. προς το συν άπειρο, θα χρειαστεί να δείξουμε ότι το όριο της στο συν άπειρο είναι πεπερασμένο.

Από το βιβλίο Ασκήσεις Λογισμού, του Ε. Πουλέα.