▪Αναδρομικός τύπος ακολουθίας

Στην ακολουθία $1^2, 2^2, 3^2, ..., ν^2,...$ ο γενικός της όρος $α_{ν} = ν^2$ μας επιτρέπει να βρούμε τον οποιονδήποτε όρο της. Είναι π.χ. 

$α_{20} = 20^2 = 400$
$α_{100} = 100^2 = 10000$ κτλ.

Υπάρχουν όμως και ακολουθίες που για το γενικό τους όρο είναι δύσκολο να βρεθεί ένας μαθηματικός τύπος

Ας θεωρήσουμε π.χ. την ακολουθία $(α_ν)$, της οποίας ο πρώτος όρος είναι το $1$, ο δεύτερος όρος είναι επίσης το $1$ και κάθε άλλος όρος, από τον τρίτο και μετά, είναι ίσος με το άθροισμα των δυο προηγούμενων όρων:

$α_1=1 , α_2=1 , α_{ν+2}= α_ν+1+α_ν$

Έχουμε:

$α_3=1+1=2$

$α_4=2+1=3$

$α_5=3+2=5$

$α_6=5+3=8$

..................

Παρατηρούμε ότι μπορούμε με διαδοχικά βήματα να βρούμε τον οποιονδήποτε όρο της ακολουθίας. Αυτό σημαίνει ότι η ακολουθία $(α_ν)$ είναι τελείως ορισμένη.

Λέμε ότι η ακολουθία $(α_ν)$ ορίζεται αναδρομικά και η ισότητα 

$α_{ν+2} = α_{ν+1}+α_ν$ 

λέγεται αναδρομικός τύπος της ακολουθίας. Γενικότερα, για να ορίζεται μια ακολουθία αναδρομικά, απαιτείται να γνωρίζουμε:

i) Τον αναδρομικό της τύπο και

ii) Όσους αρχικούς όρους μας χρειάζονται, ώστε ο αναδρομικός τύπος να αρχίσει να δίνει όρους.

Σχόλιο: Υπάρχουν ακολουθίες, για τις οποίες μέχρι τώρα δε γνωρίζουμε ούτε έναν τύπο για το γενικό τους όρο ούτε έναν αναδρομικό τύπο. Μια τέτοια ακολουθία είναι π.χ. η ακολουθία των πρώτων αριθμών:

$2, 3, 5, 7, 11, 13,...$