Έστω ένας κύκλος (Ο,R). Ο κύκλος μαζί με τα εσωτερικά του σημεία αποτελούν τον κυκλικό δίσκο με κέντρο Ο και ακτίνα R. Στην παράγραφο 11.4 είδαμε ότι τα εγγεγραμμένα ή τα περιγεγραμμένα σε έναν κύκλο κανονικά πολύγωνα τείνουν να ταυτισθούν με τον κύκλο, καθώς το πλήθος των πλευρών τους διπλασιάζεται. Ο μοναδικός θετικός αριθμός Ε προς τον οποίο πλησιάζουν ολοένα και περισσότερο, τα εμβαδά των εγγεγραμμένων και των περιγεγραμμένων κανονικών πολυγώνων, λέγεται εμβαδόν του κυκλικού δίσκου ή απλούστερα εμβαδόν του κύκλου. Επειδή ο Ε προσεγγίζεται από το εμβαδόν εγγεγραμμένων ή περιγεγραμμένων κανονικών πολυγώνων, ας θεωρήσουμε ένα κανονικό ν-γωνο εγγεγραμμένο στον κύκλο (Ο,R). Τότε το εμβαδόν Εν δίνεται από τον τύπο
Εν = 12 Ρναν (1)
Από το σχήμα φαίνεται ότι καθώς το ν διπλασιάζεται το αν προσεγγίζει την ακτίνα R και επειδή το Ρν προσεγγίζει το μήκος L του κύκλου, από την (1) προκύπτει ότι το Εν προσεγγίζει το 12 L∙R = 12 2πR∙R = πR2. Έτσι έχουμε το επόμενο θεώρημα.
Θεώρημα
Το εμβαδόν Ε ενός κυκλικού δίσκου ακτίνας R δίνεται από τη σχέση
E = πR2.
Δεν υπάρχουν σχόλια:
Δημοσίευση σχολίου