.jpg)
\[ \alpha+\beta+\gamma=1 \] \[ \alpha^2+\beta^2+\gamma^2=3 \] \[ \alpha^3+\beta^3+\gamma^3=10 \]
Να υπολογίσετε το άθροισμα:
\[ \alpha^{2026}+\beta^{2026}+\gamma^{2026}. \]
Η άσκηση απαιτεί κατανόηση των συμμετρικών αθροισμάτων και των σχέσεων μεταξύ διαδοχικών δυνάμεων πραγματικών αριθμών.
1 σχόλιο:
Από a^3+ b^3+c^3-3abc=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca) έχομε 10-3abc=3-ab-bc-ca.
ΑπάντησηΔιαγραφήΑπό (a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca έχομε 1=3+2(ab+bc+ca), ab+bc+ca=-1 άρα abc=2.
Από (ab+bc_ca)^2=(ab)^2+(bc)^2+(ca)^2+2abc(a+b+c) έχομε 1=(ab)^2+(bc)^2+(ca)^2+4,
δηλαδή το άθροισμα τετραγώνων είναι αρνητικός αριθμός.
Επομένως η εκφώνηση του προβλήματος είναι λάθος