Άσκηση Ολοκληρωμάτων και Παραγώγων με Γράφημα Συνάρτησης

Στο σχήμα δίνεται το γράφημα μιας διαφορίσιμης συνάρτησης \(f\) στο διάστημα \(-3 \le x \le 3\). Το γράφημα της \(f\) έχει οριζόντιες εφαπτόμενες στα σημεία \(x=-1\), \(x=1\) και \(x=2\). Τα εμβαδά των περιοχών A, B, C και D είναι αντίστοιχα ίσα με 5, 4, 5 και 3.

Έστω \(g\) μια αντιπαράγωγος της \(f\) τέτοια ώστε \(g(3)=7\).

(a) Να βρεθούν όλες οι τιμές του \(x\) στο ανοιχτό διάστημα \(-3 < x < 3\) για τις οποίες η συνάρτηση \(g\) παρουσιάζει σχετικό μέγιστο. Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας.

(b) Σε ποια ανοιχτά διαστήματα που περιέχονται στο \(-3 < x < 3\) το γράφημα της \(g\) είναι κοίλο προς τα πάνω; Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας.

(c) Να υπολογίσετε το όριο \[ \lim_{x \to 0} \frac{g(x)+1}{2x}, \] ή να δείξετε ότι δεν υπάρχει. Να παρουσιάσετε αναλυτικά τη συλλογιστική σας.

(d) Έστω η συνάρτηση \(h\) ορισμένη από τη σχέση \[ h(x)=3f(2x+1)+4. \] Να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα \[ \int_{-2}^{1} h(x)\,dx. \]