Έχουμε μια κλασική ζυγαριά με δύο δίσκους και θέλουμε να επιλέξουμε τέσσερα διαφορετικά ακέραια βάρη.
Στόχος είναι να μπορούμε να ζυγίσουμε οποιοδήποτε αντικείμενο ακέραιου βάρους
\[ 1,2,3,\ldots,40. \]
Υπάρχει όμως μια σημαντική δυνατότητα: τα βάρη μπορούν να τοποθετούνται και στους δύο δίσκους της ζυγαριάς.
Ποια τέσσερα βάρη πρέπει να επιλέξουμε;
💡 Εμφάνιση υπόδειξης
Αν ένα βάρος βρίσκεται στον ίδιο δίσκο με το αντικείμενο, μπορείς να το θεωρήσεις ότι αφαιρείται από τα βάρη της απέναντι πλευράς.
Έτσι κάθε διαθέσιμο βάρος μπορεί να χρησιμοποιηθεί με τρεις τρόπους:
\[ -1,\qquad 0,\qquad +1. \]
Αυτό υποδεικνύει ότι ίσως δεν πρέπει να σκεφτούμε σε δυνάμεις του \(2\), αλλά σε δυνάμεις του...
\[ 3. \]
🧩 Ένα μικρό παράδειγμα
Αν διαθέταμε τα βάρη \(1\) και \(3\), θα μπορούσαμε να ζυγίσουμε όχι μόνο τα \(1\), \(3\) και \(4\), αλλά και το \(2\).
Για αντικείμενο βάρους \(2\), βάζουμε το βάρος \(1\) μαζί με το αντικείμενο και το βάρος \(3\) στον απέναντι δίσκο:
\[ 2+1=3. \]
Άρα η δυνατότητα χρησιμοποίησης και των δύο πλευρών αλλάζει εντελώς το πρόβλημα.
Το πρόβλημα συνδέεται με το ισορροπημένο τριαδικό σύστημα (balanced ternary), στο οποίο κάθε αριθμός εκφράζεται χρησιμοποιώντας συντελεστές \[ -1,\;0,\;1 \] μπροστά από δυνάμεις του \(3\).
⚖️ Μπορείς να βρεις τα τέσσερα βάρη
που αρκούν για όλα τα βάρη από \(1\) έως \(40\);
2 σχόλια:
Βάσει του τύπου Σο=(α*(ω^n-1)/(ω-1), βρίσκουμε τη τιμή του "ω" που είναι ο
ΑπάντησηΔιαγραφήλόγος της γεωμετρική προόδου:
Σο =Συνολικό άθροισμα της γεωμετρικής προόδου.
α =Ο πρώτος όρος της γεωμετρικής προόδου.
n =Το πλήθος των όρων της γεωμετρικής προόδου.
ω =Ο λόγος. Ο σταθερός αριθμός, ο οποίος προστίθεται εις έναν όρο για να δώσει τον επόμενο.
τ =Ο τελευταίος όρος της γεωμετρικής προόδου.
Σο=(α*(ω^n-1)/(ω-1) === Σο =(1*ω^4 – 1)/(ω-1) (1)
Διερεύνηση:
Δίδοντας στο "ω" τις τιμές από το 1 έως το 9, βρίσκουμε ότι ο μοναδικός αριθμός που πληρεί τις προϋποθέσεις για τη λύση του προβλήματος είναι
ο ω=3 , οπότε έχουμε:
Σο =(1*ω^4 – 1)/(ω-1) === Σο =(1*(3^4-1)/(3-1) === Σο =(1*(81-1)/2 === Σο =1*80/2 === Σο=80/2 === Σο =40 (2)
Αντικαθιστούμε τη τιμή του "ω" στο τύπο τ = α*ω(n-1) για να βρούμε το τελευταίο όρο της γεωμετρικής προόδου:
τ = α*ω(n-1) ===τ = 1*3(4-1) τ = 1*33 ===τ =1*27 ===τ =27 (3)
Βάσει του αθροίσματος των όρων της γεωμετρικής προόδου με λόγο το 3 έχουμε:
α+α*ω+α*ω2+α*ω3+…+α*ω(n-1) === 1+1*3+1*32+1*33 === 1+3+9+27=40.
Άρα η ράβδος πρέπει να κοπεί στα εξής μεγέθη βάρους:
1 κιλό, 3 κιλά, 9 κιλά και 27 κιλά.
Για να έχουμε τα επιθυμητά κιλά σε συνδυασμό και των τεσσάρων σταθμών.
Για τον αναλυτικό πίνακα των βαρών όρα εδώ : https://imgur.com/a/nr4AESL
Πρόβλημα από το βιβλίο με τίτλο «Problèmes plaisans et delectables qui font par les nombres», 1612
ΑπάντησηΔιαγραφή(Πρόβλημα με ευχάριστα και νόστιμα πράγματα που μοιάζουν με τους αριθμούς ).
του Claude Gaspar Bachet de Méziriac.