🤯 Υπάρχει το 5,5!; Από το Παραγοντικό στη Συνάρτηση Γάμμα

Στην ερώτηση:

Πόσα υποσύνολα με 5 στοιχεία έχει ένα σύνολο με 3 στοιχεία;

Η απάντηση είναι προφανώς μηδέν. Δεν μπορούμε να επιλέξουμε 5 διαφορετικά στοιχεία όταν διαθέτουμε μόνο 3:

\[ \binom35=0. \]

Ένας φοιτητής όμως άρχισε να χρησιμοποιεί τον γνωστό τύπο:

\[ \binom nk=\frac{n!}{k!(n-k)!}. \]

Και έγραψε:

«Για να βγει μηδέν», μου είπε, «τότε το \((-2)!\) πρέπει να είναι άπειρο!»

Εδώ όμως κρύβεται η παγίδα.

⚠️ Όχι ακριβώς!

Το παραγοντικό δεν αποκτά τιμή \(\pm\infty\) στους αρνητικούς ακεραίους. Η επέκτασή του μέσω της συνάρτησης Γάμμα έχει εκεί πόλους, επομένως οι τιμές

\[ (-1)!,\quad(-2)!,\quad(-3)!,\ldots \]

δεν ορίζονται ως πεπερασμένοι αριθμοί.

Το πραγματικά εντυπωσιακό είναι ότι μπορούμε να δώσουμε νόημα στο παραγοντικό για πολλούς αριθμούς που δεν είναι ακέραιοι.

Το εργαλείο είναι η συνάρτηση Γάμμα:

\[ x!=\Gamma(x+1). \]

Για τους φυσικούς αριθμούς επιστρέφει ακριβώς το συνηθισμένο παραγοντικό:

\[ \Gamma(n+1)=n!. \]

Ακόμη πιο παράξενα,

και γνωρίζουμε την περίφημη τιμή

\[ \Gamma\left(\frac12\right)=\sqrt{\pi}. \]

🧩 Πρόκληση

Χρησιμοποιώντας μόνο τη σχέση

\[ \Gamma(x+1)=x\Gamma(x) \]

και το γεγονός ότι

\[ \Gamma\left(\frac12\right)=\sqrt{\pi}, \]

μπορείτε να υπολογίσετε το \(5{,}5!\);

🔍 Δείτε τη λύση

Έχουμε

\[ 5{,}5!=\Gamma(6{,}5) =\Gamma\left(\frac{13}{2}\right). \]

Εφαρμόζοντας επανειλημμένα τη σχέση της Γάμμα:

\[ \Gamma\left(\frac{13}{2}\right) = \frac{11}{2}\cdot \frac{9}{2}\cdot \frac{7}{2}\cdot \frac{5}{2}\cdot \frac{3}{2}\cdot \frac{1}{2}\, \Gamma\left(\frac12\right). \]

Άρα

\[ \boxed{ 5{,}5! = \frac{10395}{64}\sqrt{\pi} } \]

και αριθμητικά

\[ \boxed{5{,}5!\approx287{,}8853}. \]

Το παραγοντικό λοιπόν δεν σταματά στους φυσικούς αριθμούς. Η συνάρτηση Γάμμα μάς επιτρέπει να το επεκτείνουμε σε ένα πολύ μεγαλύτερο μέρος των πραγματικών — και ακόμη και των μιγαδικών — αριθμών.

📚

Έρχεται το πολλαπλό βιβλίο ΝΕΟ — βρες όλες τις επιλογές εδώΠολλαπλό βιβλίο ΝΕΟ — 437 βιβλία σε PDF

PDF & Ψηφιακά Μαθησιακά Αντικείμενα — χωρίς εγγραφή • Portify

📚 437 βιβλία🎬 22.000+ Ψηφιακά Μαθησιακά Αντικείμενα

Δες τα βιβλία →