🔢 Αριθμητική Πρόοδος και Τέλεια Τετράγωνα – Γιατί Είναι Άπειρα ή Κανένα;

🔢 Τέλεια Τετράγωνα σε μια Αριθμητική Πρόοδο

Υπάρχει ένα όμορφο και ίσως απρόσμενο γεγονός:

Σε κάθε μη σταθερή αριθμητική πρόοδο φυσικών αριθμών, τα τέλεια τετράγωνα που εμφανίζονται ως όροι της είναι είτε κανένα είτε άπειρα.

Δεν υπάρχει δηλαδή αριθμητική πρόοδος που να περιέχει ακριβώς ένα, δύο, δέκα ή οποιοδήποτε άλλο πεπερασμένο θετικό πλήθος τέλειων τετραγώνων.

Γιατί συμβαίνει αυτό;

🔍 Δείτε την απόδειξη

Έστω η αριθμητική πρόοδος

\[ a,\ a+d,\ a+2d,\ a+3d,\ldots , \qquad d>0. \]

Αν δεν περιέχει κανένα τέλειο τετράγωνο, τελειώσαμε. Ας υποθέσουμε λοιπόν ότι περιέχει έστω ένα, για παράδειγμα

\[ m^2=a+nd. \]

Τότε, για κάθε φυσικό αριθμό \(k\), εξετάζουμε το τετράγωνο

\[ (m+kd)^2. \]

Έχουμε

\[ (m+kd)^2 =m^2+2mkd+k^2d^2 =m^2+d(2mk+k^2d). \]

Επομένως το \((m+kd)^2\) διαφέρει από το \(m^2\) κατά ακέραιο πολλαπλάσιο του \(d\). Αφού το \(m^2\) είναι όρος της αρχικής προόδου, το ίδιο ισχύει και για όλα τα

\[ (m+d)^2,\quad(m+2d)^2,\quad(m+3d)^2,\quad\ldots \]

και αυτά είναι άπειρα διαφορετικά τέλεια τετράγωνα.

Άρα αρκεί να εμφανιστεί ένα μόνο τέλειο τετράγωνο στην αριθμητική πρόοδο, για να αναγκαστούν να εμφανιστούν άπειρα.

📚

Έρχεται το πολλαπλό βιβλίο ΝΕΟ — βρες όλες τις επιλογές εδώΠολλαπλό βιβλίο ΝΕΟ — 437 βιβλία σε PDF

PDF & Ψηφιακά Μαθησιακά Αντικείμενα — χωρίς εγγραφή • Portify

📚 437 βιβλία🎬 22.000+ Ψηφιακά Μαθησιακά Αντικείμενα

Δες τα βιβλία →