🔢 Το Άθροισμα μιας Ακολουθίας Περιττών Αριθμών

1️⃣ Αναπαράσταση περιττών αριθμών

Αν ένας περιττός αριθμός μπορεί να γραφεί στη μορφή \( 2n - 1 \), τότε το \( n \) είναι η τάξη αυτού του περιττού:

• \( 1 = 2 \times 1 - 1 \) (ο πρώτος περιττός)
• \( 3 = 2 \times 2 - 1 \) (ο δεύτερος περιττός)
• \( \dots \)
• \( 2n - 1 \) είναι ο \( n \)-οστός περιττός

2️⃣ Το άθροισμα των πρώτων n περιττών είναι τέλειο τετράγωνο

Το άθροισμα μιας ακολουθίας διαδοχικών περιττών αριθμών που ξεκινά από το 1 είναι πάντα τέλειο τετράγωνο!

• Το 1 είναι τέλειο τετράγωνο (\( 1 = 1^2 \))

Υποθέτουμε ότι \( 1 + 3 + \dots + (2n - 1) = n^2 \) και αποδεικνύουμε ότι:

\[ 1 + 3 + \dots + (2n - 1) + \bigl(2(n+1) - 1\bigr) = (n+1)^2 \]

(Απόδειξη με επαγωγή στο \( n \))

\[ \begin{align*} 1 + 3 + \dots + (2n-1) + 2(n+1)-1 &= n^2 + 2(n+1)-1 \\ &= n^2 + 2n + 1 \\ &= (n+1)^2 \end{align*} \]

3️⃣ Γενική περίπτωση

Το άθροισμα οποιασδήποτε ακολουθίας διαδοχικών περιττών αριθμών είναι πάντα διαφορά τελείων τετραγώνων!

Έστω \( n_1 \) και \( n_2 \) φυσικοί αριθμοί με \( n_1 < n_2 \). Τότε:

\[ \begin{align*} (2n_1 - 1) + \dots + (2n_2 - 1) &= \bigl(1 + 3 + \dots + (2n_2 - 1)\bigr) - \bigl(1 + 3 + \dots + (2n_1 - 1) - 1\bigr) \\ &= n_2^2 - (n_1 - 1)^2 \end{align*} \]

📚

Έρχεται το πολλαπλό βιβλίο ΝΕΟ — βρες όλες τις επιλογές εδώΠολλαπλό βιβλίο ΝΕΟ — 437 βιβλία σε PDF

PDF & Ψηφιακά Μαθησιακά Αντικείμενα — χωρίς εγγραφή • Portify

📚 437 βιβλία🎬 22.000+ Ψηφιακά Μαθησιακά Αντικείμενα

Δες τα βιβλία →

Σχετικά άρθρα