🔵 Τέσσερις σφαίρες και ένα παράξενο μνημείο — Πόσο ψηλό είναι;

Ένας γλύπτης κατασκεύασε ένα ιδιαίτερο μνημείο χρησιμοποιώντας τέσσερις πανομοιότυπες σφαίρες.

Κάθε σφαίρα έχει ακτίνα

\[ r=1\text{ m}. \]

Οι τρεις σφαίρες της βάσης ακουμπούν στο έδαφος και εφάπτονται ανά δύο. Η τέταρτη βρίσκεται επάνω τους και εφάπτεται και στις τρεις.

🧠 Πρόκληση

Ποιο είναι το συνολικό ύψος του μνημείου από το έδαφος μέχρι το ψηλότερο σημείο της επάνω σφαίρας;

Το σχήμα φαίνεται απλό, αλλά η εικόνα που βλέπουμε είναι μόνο μια δισδιάστατη προβολή ενός τρισδιάστατου προβλήματος.

💡 Εμφάνιση υπόδειξης

Μην εργαστείτε με τις επιφάνειες των σφαιρών. Ενώστε νοερά τα κέντρα τους.

Δύο ίσες σφαίρες ακτίνας \(1\) m που εφάπτονται έχουν τα κέντρα τους σε απόσταση

\[ 2\text{ m}. \]

Επομένως, τα κέντρα των τριών σφαιρών της βάσης σχηματίζουν ένα ισόπλευρο τρίγωνο πλευράς \(2\).

Το κέντρο της επάνω σφαίρας απέχει επίσης \(2\) m από καθένα από αυτά τα τρία κέντρα.

Τι στερεό σχηματίζουν λοιπόν τα τέσσερα κέντρα;

Αν βρείτε το ύψος αυτού του στερεού, απομένει μόνο να προσέξετε ότι τα κέντρα των τριών κάτω σφαιρών βρίσκονται \(1\) m πάνω από το έδαφος και ότι η επάνω σφαίρα εκτείνεται ακόμη \(1\) m πάνω από το δικό της κέντρο.

Έτσι το πρόβλημα μετατρέπεται σε ένα κλασικό πρόβλημα για το ύψος ενός κανονικού τετραέδρου.

📚

Έρχεται το πολλαπλό βιβλίο ΝΕΟ — βρες όλες τις επιλογές εδώΠολλαπλό βιβλίο ΝΕΟ — 437 βιβλία σε PDF

PDF & Ψηφιακά Μαθησιακά Αντικείμενα — χωρίς εγγραφή • Portify

📚 437 βιβλία🎬 22.000+ Ψηφιακά Μαθησιακά Αντικείμενα

Δες τα βιβλία →