⭕ Οι Σπειροειδείς του Περσέα – Οι Αρχαίες Καμπύλες που Γεννιούνται από έναν Τόρο

⭕ Οι Σπειροσειδείς του Περσέα: Κόβοντας έναν Τόρο

Οι κωνικές τομές γεννιούνται όταν ένα επίπεδο τέμνει έναν κώνο. Έτσι εμφανίζονται η έλλειψη, η παραβολή και η υπερβολή.

Τι καμπύλες όμως δημιουργούνται αν, αντί για έναν κώνο, κόψουμε με ένα επίπεδο έναν τόρο — τη γνωστή επιφάνεια που θυμίζει δακτύλιο;

Το ερώτημα αυτό είχε απασχολήσει τους Έλληνες γεωμέτρες ήδη από την αρχαιότητα. Οι καμπύλες που προκύπτουν από ορισμένες τέτοιες τομές είναι γνωστές ως σπειροειδείς του Περσέα (Spiric Sections of Perseus).

Σπειροειδείς τομές ως επίπεδες τομές ενός τόρου.

Ποιος ήταν ο Περσέας;

Για τον αρχαίο Έλληνα γεωμέτρη Περσέα γνωρίζουμε ελάχιστα. Οι αρχαίες πηγές τον συνδέουν με τη μελέτη των καμπυλών που δημιουργούνται από τομές ενός τόρου.

Η ονομασία έχει ιδιαίτερο ενδιαφέρον. Οι αρχαίοι Έλληνες χρησιμοποιούσαν τη λέξη σπεῖρα για τον τόρο· από αυτή προέρχεται και ο όρος «σπειροειδείς τομές».

Κωνικές τομές: επίπεδο + κώνος

Σπειροειδείς του Περσέα: επίπεδο + τόρος

Από τον τόρο στην εξίσωση

Αν \(R\) είναι η μεγάλη ακτίνα του τόρου και \(r\) η ακτίνα του κυκλικού σωλήνα που τον σχηματίζει, ένας τόρος με άξονα τον \(z\) μπορεί να περιγραφεί από:

\[ \left(R-\sqrt{x^2+y^2}\right)^2+z^2=r^2. \]

Απαλείφοντας την τετραγωνική ρίζα παίρνουμε την ισοδύναμη μορφή:

\[ \left(R^2-r^2+x^2+y^2+z^2\right)^2 = 4R^2(x^2+y^2). \]

Όταν τώρα τέμνουμε τον τόρο με ένα επίπεδο παράλληλο προς τον άξονά του, για παράδειγμα \(y=a\), η τομή πάνω στο επίπεδο περιγράφεται από μια εξίσωση τέταρτου βαθμού.

\[ \boxed{ \bigl((x-R)^2+y^2-\rho^2\bigr) \bigl((x+R)^2+y^2-\rho^2\bigr) = 4R^2a^2 } \]

όπου

\[ \rho^2=r^2-a^2. \]

Μια όμορφη γεωμετρική ερμηνεία

Οι δύο παράγοντες στην προηγούμενη σχέση μπορούν να ερμηνευθούν ως δυνάμεις ενός σημείου ως προς δύο ίσους κύκλους, με κέντρα συμμετρικά τοποθετημένα.

Έτσι οι σπειροειδείς του Περσέα μπορούν να χαρακτηριστούν ως οι γεωμετρικοί τόποι των σημείων για τα οποία το γινόμενο των δυνάμεων ως προς δύο ίσους εστιακούς κύκλους παραμένει σταθερό και θετικό.

Μια τρισδιάστατη τομή ενός τόρου μετατρέπεται έτσι σε ένα καθαρά επίπεδο πρόβλημα γεωμετρικού τόπου.

Από τις σπειροειδείς στα ωοειδή του Cassini

Η οικογένεια αυτή συνδέεται και με άλλες γνωστές καμπύλες. Αν η ακτίνα των δύο εστιακών κύκλων μηδενιστεί, οι δυνάμεις γίνονται τετράγωνα αποστάσεων και προκύπτουν τα περίφημα ωοειδή του Cassini.

Τρία ωοειδή Cassini, που διαφέρουν ως προς το εύρος εντός του οποίου εμπίπτει η παράμετρος e (ίσο με b/a):  0 < e < 1, e = 1, 1 < e < √2.

Σε μια ειδικότερη περίπτωση εμφανίζεται ο  λημνίσκος του Bernoulli, η χαρακτηριστική καμπύλη σε σχήμα πλαγιασμένου «8».

Τόρος → σπειροειδείς του Περσέα → ωοειδή του Cassini → λημνίσκος

Λημνίσκος Bernoulli

Οι σπειροειδείς του Περσέα είναι ένα εντυπωσιακό παράδειγμα του πόσο μακριά είχε φτάσει η ελληνική Γεωμετρία: μια οικογένεια καμπυλών τέταρτου βαθμού μελετήθηκε γεωμετρικά πολλούς αιώνες πριν υπάρξει η Αναλυτική Γεωμετρία και η σύγχρονη αλγεβρική γλώσσα με την οποία σήμερα μπορούμε να τις περιγράψουμε.

📚

Έρχεται το πολλαπλό βιβλίο ΝΕΟ — βρες όλες τις επιλογές εδώΠολλαπλό βιβλίο ΝΕΟ — 437 βιβλία σε PDF

PDF & Ψηφιακά Μαθησιακά Αντικείμενα — χωρίς εγγραφή • Portify

📚 437 βιβλία🎬 22.000+ Ψηφιακά Μαθησιακά Αντικείμενα

Δες τα βιβλία →