📐 Τρεις Άρρητοι Αριθμοί Κρυμμένοι στα Εργαλεία Σχεδίασης

📐 Τρεις Άρρητοι Αριθμοί Κρυμμένοι στα Εργαλεία Σχεδίασης

Ένα μοιρογνωμόνιο και δύο συνηθισμένα τρίγωνα σχεδίασης φαίνονται απλά εργαλεία. Κι όμως, μέσα στη γεωμετρία τους «κρύβονται» τρεις από τους γνωστότερους άρρητους αριθμούς:

\[ \boxed{\pi,\qquad\sqrt2,\qquad\sqrt3}. \]

Το μοιρογνωμόνιο μάς οδηγεί φυσικά στον λόγο της περιφέρειας ενός κύκλου προς τη διάμετρό του,

\[ \pi=3{,}14159265\ldots \]

ενώ το ορθογώνιο ισοσκελές τρίγωνο \(45^\circ-45^\circ-90^\circ\) μάς δίνει, από το Πυθαγόρειο θεώρημα,

\[ 1^2+1^2=(\sqrt2)^2. \]

Αντίστοιχα, στο τρίγωνο \(30^\circ-60^\circ-90^\circ\), οι πλευρές βρίσκονται στον λόγο

\[ 1:\sqrt3:2. \]

🧩 Η πρόκληση

Οι αριθμοί \(\pi\), \(\sqrt2\) και \(\sqrt3\) είναι άρρητοι. Δεν μπορούν επομένως να γραφτούν ακριβώς ως κλάσματα δύο ακεραίων.

Μπορούμε όμως να τους πλησιάσουμε εντυπωσιακά καλά.

Βρείτε όσο το δυνατόν καλύτερες προσεγγίσεις των

\[ \pi,\qquad\sqrt2,\qquad\sqrt3 \]

με κλάσματα των οποίων ο αριθμητής και ο παρονομαστής έχουν το πολύ τρία ψηφία.

Για το \(\pi\), για παράδειγμα, συγκρίνετε:

\[ \frac{377}{120}=3{,}141666\ldots \]

και

\[ \frac{355}{113}=3{,}141592920\ldots \]

Ποιο από τα δύο πλησιάζει περισσότερο το \(\pi\);

🔍 Δείτε την απάντηση

Οι πολύ καλές προσεγγίσεις με αριθμητή και παρονομαστή έως τρία ψηφία είναι:

\[ \boxed{\pi\approx\frac{355}{113}} \]

\[ \boxed{\sqrt2\approx\frac{816}{577}} \]

\[ \boxed{\sqrt3\approx\frac{989}{571}}. \]

Ειδικά για το \(\pi\), η διαφορά είναι εντυπωσιακή:

\[ \left|\pi-\frac{377}{120}\right| \approx7{,}40\times10^{-5}, \]

\[ \left|\pi-\frac{355}{113}\right| \approx2{,}67\times10^{-7}. \]

Άρα το

\[ \boxed{\frac{355}{113}} \]

είναι κατά πολύ ακριβέστερο. Η περίφημη αυτή προσέγγιση συνδέεται με τον Κινέζο μαθηματικό και αστρονόμο Zu Chongzhi (429–500).

📚

Έρχεται το πολλαπλό βιβλίο ΝΕΟ — βρες όλες τις επιλογές εδώΠολλαπλό βιβλίο ΝΕΟ — 437 βιβλία σε PDF

PDF & Ψηφιακά Μαθησιακά Αντικείμενα — χωρίς εγγραφή • Portify

📚 437 βιβλία🎬 22.000+ Ψηφιακά Μαθησιακά Αντικείμενα

Δες τα βιβλία →