♾️ Οι Περισσότεροι Πραγματικοί Αριθμοί Είναι Υπερβατικοί

Αν μας ζητήσουν να αναφέρουμε έναν αλγεβρικό αριθμό, έχουμε αμέσως αμέτρητα παραδείγματα:

\[ 2,\qquad \frac{3}{5},\qquad \sqrt2,\qquad \frac{1+\sqrt5}{2},\ldots \]

Όλοι είναι ρίζες κάποιου μη μηδενικού πολυωνύμου με ακέραιους συντελεστές. Για παράδειγμα,

\[ \sqrt2 \]

είναι αλγεβρικός, επειδή ικανοποιεί την εξίσωση

\[ x^2-2=0. \]

Αν όμως ζητήσουμε έναν υπερβατικό αριθμό —έναν αριθμό που δεν είναι ρίζα κανενός τέτοιου πολυωνύμου— οι περισσότεροι θα σκεφτούν μόνο δύο διάσημα παραδείγματα:

\[ \pi,\qquad e. \]

Θα ήταν λοιπόν φυσικό να υποθέσουμε ότι οι αλγεβρικοί αριθμοί είναι πολύ περισσότεροι και οι υπερβατικοί αποτελούν κάποιες σπάνιες εξαιρέσεις.

Συμβαίνει ακριβώς το αντίθετο.

Το κλειδί βρίσκεται σε μια ιδέα του Georg Cantor. Υπάρχουν άπειρα πολυώνυμα με ακέραιους συντελεστές, αλλά μπορούμε να τα απαριθμήσουμε. Το σύνολό τους είναι δηλαδή αριθμήσιμο.

Κάθε πολυώνυμο έχει μόνο πεπερασμένο αριθμό ριζών. Επομένως, ακόμη κι αν συγκεντρώσουμε τις ρίζες όλων των πολυωνύμων με ακέραιους συντελεστές, το σύνολο που θα προκύψει παραμένει αριθμήσιμο.

Οι αλγεβρικοί αριθμοί είναι αριθμήσιμοι.

Οι πραγματικοί αριθμοί, όμως, όπως απέδειξε ο Cantor, είναι μη αριθμήσιμοι. Δεν μπορούν να μπουν όλοι σε μια ακολουθία.

Αν λοιπόν από το μη αριθμήσιμο σύνολο των πραγματικών αφαιρέσουμε το αριθμήσιμο σύνολο των αλγεβρικών, αυτό που απομένει εξακολουθεί να είναι μη αριθμήσιμο.

Και τι απομένει;

Οι υπερβατικοί αριθμοί.

Έτσι προκύπτει ένα από τα πιο αντιδιαισθητικά συμπεράσματα της θεωρίας αριθμών: υπάρχουν πολύ περισσότεροι υπερβατικοί αριθμοί από αλγεβρικούς.

Το παράδοξο είναι ότι συμβαίνει ακριβώς το αντίθετο με τις γνώσεις μας. Είναι εύκολο να γράψουμε αλγεβρικούς αριθμούς και να αποδείξουμε ότι είναι αλγεβρικοί, ενώ για έναν συγκεκριμένο αριθμό μπορεί να είναι εξαιρετικά δύσκολο να αποδείξουμε ότι είναι υπερβατικός.

Με άλλα λόγια, σχεδόν όπου κι αν «κοιτάξουμε» πάνω στην πραγματική ευθεία υπάρχουν υπερβατικοί αριθμοί — απλώς είναι πολύ δύσκολο να τους αναγνωρίσουμε με το όνομά τους.

📚

Έρχεται το πολλαπλό βιβλίο ΝΕΟ — βρες όλες τις επιλογές εδώΠολλαπλό βιβλίο ΝΕΟ — 437 βιβλία σε PDF

PDF & Ψηφιακά Μαθησιακά Αντικείμενα — χωρίς εγγραφή • Portify

📚 437 βιβλία🎬 22.000+ Ψηφιακά Μαθησιακά Αντικείμενα

Δες τα βιβλία →