➕ Η Κανόνας των Προσήμων του Descartes – Πόσες Θετικές Ρίζες Έχει ένα Πολυώνυμο;

Μπορούμε να πάρουμε πληροφορίες για τις ρίζες ενός πολυωνύμου χωρίς να λύσουμε την εξίσωση; Ο René Descartes παρατήρησε ότι αρκεί μερικές φορές να κοιτάξουμε κάτι πολύ απλό: τα πρόσημα των συντελεστών.

Ας θεωρήσουμε, για παράδειγμα, το πολυώνυμο

\[ p(x)=x^5+3x^4-5x^2+x-7. \]

Οι συντελεστές του, με τη σειρά και παραλείποντας τον μηδενικό συντελεστή του \(x^3\), έχουν πρόσημα

\[ +,\quad +,\quad -,\quad +,\quad -. \]

Υπάρχουν λοιπόν τρεις αλλαγές προσήμου.

Ο κανόνας του Descartes λέει ότι ο αριθμός των θετικών πραγματικών ριζών δεν μπορεί να είναι μεγαλύτερος από τον αριθμό αυτών των αλλαγών. Υπάρχει όμως και κάτι περισσότερο: αν είναι μικρότερος, η διαφορά πρέπει να είναι άρτιος αριθμός.

3 αλλαγές προσήμου

\[ \Longrightarrow\quad 3\ \text{ή}\ 1 \] θετικές πραγματικές ρίζες.

Δεν μπορούν, δηλαδή, να υπάρχουν ακριβώς δύο θετικές ρίζες ή καμία. Στο συγκεκριμένο παράδειγμα υπάρχει τελικά μία θετική πραγματική ρίζα. :contentReference[oaicite:0]{index=0}

Ανάλογα, αν θέλουμε πληροφορίες για τις αρνητικές ρίζες, εφαρμόζουμε τον ίδιο κανόνα στο \(p(-x)\).

Ο Descartes διατύπωσε τον κανόνα στη La Géométrie το 1637 χωρίς να δώσει απόδειξη. Ο Newton τον αναδιατύπωσε το 1707, ενώ η πρώτη γνωστή απόδειξη αποδίδεται στον Jean-Paul de Gua de Malves το 1740. Το 1828 ο Gauss έδειξε και το ισχυρότερο συμπέρασμα για την άρτια διαφορά μεταξύ αλλαγών προσήμου και θετικών ριζών. :contentReference[oaicite:1]{index=1}

Έτσι, μια απλή ματιά στα \(+\) και στα \(-\) των συντελεστών μπορεί να μας πει κάτι ουσιαστικό για τις ρίζες μιας εξίσωσης — πριν υπολογίσουμε έστω και μία από αυτές.

📚

Έρχεται το πολλαπλό βιβλίο ΝΕΟ — βρες όλες τις επιλογές εδώΠολλαπλό βιβλίο ΝΕΟ — 437 βιβλία σε PDF

PDF & Ψηφιακά Μαθησιακά Αντικείμενα — χωρίς εγγραφή • Portify

📚 437 βιβλία🎬 22.000+ Ψηφιακά Μαθησιακά Αντικείμενα

Δες τα βιβλία →