🔢 Αν a+b+c=1 και a³+b³+c³=1, πόσο είναι a²⁰²⁵+b²⁰²⁵+c²⁰²⁵;

Οι πραγματικοί αριθμοί \(a,b,c\) ικανοποιούν τις δύο σχέσεις

\[ a+b+c=1 \]

και

\[ a^3+b^3+c^3=1. \]

❓ Πρόκληση

Χωρίς να γνωρίζουμε τις τιμές των \(a,b,c\), μπορούμε να υπολογίσουμε το \[ \boxed{a^{2025}+b^{2025}+c^{2025}}\;? \]

Ο εκθέτης \(2025\) φαίνεται τεράστιος, όμως το πρόβλημα δεν απαιτεί κανέναν μεγάλο υπολογισμό.

Το κλειδί κρύβεται στη σχέση ανάμεσα στο άθροισμα τριών αριθμών και στο άθροισμα των κύβων τους.

💡 Εμφάνιση υπόδειξης

Αφού

\[ a+b+c=1, \]

έχουμε επίσης

\[ (a+b+c)^3=1. \]

Συγκρίνετε τώρα αυτή τη σχέση με

\[ a^3+b^3+c^3=1 \]

και χρησιμοποιήστε την ταυτότητα

\[ (a+b+c)^3-a^3-b^3-c^3 = 3(a+b)(b+c)(c+a). \]

Τι συμπεραίνετε για έναν από τους τρεις παράγοντες

\[ a+b,\qquad b+c,\qquad c+a; \]

Και γιατί έχει σημασία ότι ο αριθμός \(2025\) είναι περιττός;

🧠 Η παγίδα του προβλήματος

Ο μεγάλος εκθέτης είναι ουσιαστικά ένας αντιπερισπασμός.

Η λύση βρίσκεται σε μια απλή αλγεβρική ταυτότητα και στην παρατήρηση ότι \[ 2025\ \text{είναι περιττός}. \]

Μπορείτε να βρείτε την τιμή χωρίς να υπολογίσετε τα \(a,b,c\);

📚

Έρχεται το πολλαπλό βιβλίο ΝΕΟ — βρες όλες τις επιλογές εδώΠολλαπλό βιβλίο ΝΕΟ — 437 βιβλία σε PDF

PDF & Ψηφιακά Μαθησιακά Αντικείμενα — χωρίς εγγραφή • Portify

📚 437 βιβλία🎬 22.000+ Ψηφιακά Μαθησιακά Αντικείμενα

Δες τα βιβλία →