Για οποιουσδήποτε πραγματικούς αριθμούς \(x,y\) ισχύει η εντυπωσιακή ταυτότητα
\[ \boxed{\left[x^2+y^2+(x+y)^2\right]^2 =2\left[x^4+y^4+(x+y)^4\right]}. \]Η σχέση είναι γνωστή ως ταυτότητα του Candido και η γεωμετρική της απεικόνιση κάνει την ισότητα ιδιαίτερα ελκυστική.
✏️ Μια σύντομη απόδειξη
Παρατηρούμε αρχικά ότι
\[ x^2+y^2+(x+y)^2 =2(x^2+xy+y^2). \]Άρα
\[ \left[x^2+y^2+(x+y)^2\right]^2 =4(x^2+xy+y^2)^2. \]Από την άλλη,
\[ \begin{aligned} x^4+y^4+(x+y)^4 &=x^4+y^4+x^4+4x^3y+6x^2y^2+4xy^3+y^4\\ &=2(x^4+2x^3y+3x^2y^2+2xy^3+y^4)\\ &=2(x^2+xy+y^2)^2. \end{aligned} \]Επομένως
\[ 2\left[x^4+y^4+(x+y)^4\right] =4(x^2+xy+y^2)^2, \]και συνεπώς
\[ \boxed{\left[x^2+y^2+(x+y)^2\right]^2 =2\left[x^4+y^4+(x+y)^4\right]}. \]
✨ Μια ταυτότητα που αποδεικνύεται σε λίγες γραμμές αλγεβρικά,
αλλά αποκτά ιδιαίτερη ομορφιά όταν τη «δούμε» γεωμετρικά.
αλλά αποκτά ιδιαίτερη ομορφιά όταν τη «δούμε» γεωμετρικά.
Έρχεται το πολλαπλό βιβλίο ΝΕΟ — βρες όλες τις επιλογές εδώΠολλαπλό βιβλίο ΝΕΟ — 437 βιβλία σε PDF
PDF & Ψηφιακά Μαθησιακά Αντικείμενα — χωρίς εγγραφή • Portify
📚 437 βιβλία🎬 22.000+ Ψηφιακά Μαθησιακά Αντικείμενα
Δες τα βιβλία →
Δεν υπάρχουν σχόλια:
Δημοσίευση σχολίου