▪ Γεωμετρία - Β Γυμνασίου

Θέματα των Μαθηματικών διαγωνισμών 

"Θαλής" και "Ευκλείδης" 

στην Γεωμετρία

Ε.Μ.Ε Πανελλήνιος Μαθηματικός Διαγωνισμός «Ευκλείδης» 1994

Στο παρακάτω σχήμα η κορυφή Ε του τετραγώνου ΕΖΗΘ πλευράς 10 βρίσκεται στο κέντρο του τετραγώνου ΑΒΓΔ. 

Αν τα δύο τετράγωνα είναι ίσα να βρείτε το εμβαδόν της επιφάνειας που καλύπτει το σχήμα που σχηματίζεται.  

Ε.Μ.Ε Πανελλήνιος Μαθηματικός Διαγωνισμός «Θαλής» 1995

Έστω κύκλος (Κ, 3cm) και Λ τυχόν σημείο του . Με κέντρο το Λ και ακτίνα 3cm γράφουμε κύκλο. Η προέκταση της διακέντρου ΚΛ τέμνει τον κύκλο με κέντρο το Κ στο σημείο Α και τον κύκλο με κέντρο το Λ στο σημείο Β. Στα σημεία Κ και Λ και προς το ίδιο μέρος της ΚΛ ,φέρουμε τις κάθετες ακτίνες ΚΓ και ΛΔ. Να βρείτε τα εμβαδά (ΚΛΔΓ), (ΑΓΛ), ΑΔΒ), (ΑΚΔΓ) και (ΑΓΔΒ).

Ε.Μ.Ε Πανελλήνιος Μαθηματικός Διαγωνισμός «Ευκλείδης» 1995

Έστω ισόπλευρο τρίγωνο ΑΒΓ και ΑΔ ,ΒΕ και ΓΖ οι διάμεσοι του. Να βρείτε πόσες γωνίες μικρότερες των 180⁰, σχηματίζουν οι διάμεσοι του με τις πλευρές του τριγώνου και μεταξύ τους.

Ε.Μ.Ε Πανελλήνιος Μαθηματικός Διαγωνισμός «Θαλής» 1996

Πάνω σε μία ευθεία ε παίρνουμε τα σημεία Α, Β, Γ, Δ τέτοια ώστε ΑΒ =2, ΑΓ = 6 και ΑΔ = 12. Αν Ε, Ζ, Η είναι τα μέσα των ευθύγραμμων τμημάτων ΒΓ, ΓΔ και ΒΔ, να αποδείξετε ότι  ΔΖ = ΕΓ.

Ε.Μ.Ε Πανελλήνιος Μαθηματικός Διαγωνισμός «Θαλής» 1997

 Στο διπλανό σχήμα το ΑΒΓΔ είναι τραπέζιο και Μ τυχαίο σημείο της πλευράς ΑΒ. Αν ΑΒ = 10cm και ΓΔ = 25cm, να αποδείξετε ότι:

                                            (ΓΔΜ)= 5/7(ΑΒΓΔ).

Ε.Μ.Ε Πανελλήνιος Μαθηματικός Διαγωνισμός «Θαλής» 1998

 Στο παρακάτω  σχήμα είναι Αχ║Δψ. Να υπολογίσετε το άθροισμα των γωνιών

 α, β, γ και δ.

Ε.Μ.Ε Πανελλήνιος Μαθηματικός Διαγωνισμός «Ευκλείδης» 1998

Έστω Μ₁ μέσο του ευθύγραμμου τμήματος ΑΒ, Μ₂ το μέσο του ΑΜ₁, Μ₃ το μέσο του ΑΜ₂, κτλ και Μ₁₀ το μέσο του ευθύγραμμου τμήματος ΑΜ₉. Αν ΑΒ = 3∙2¹¹, να βρείτε το μήκος του ευθύγραμμου τμήματος ΑΜ₁₀.

Ε.Μ.Ε Πανελλήνιος Μαθηματικός Διαγωνισμός «Ευκλείδης» 1998

Δίνεται ορθογώνιο ΑΒΓΔ με ΑΒ = 2ΑΔ και σημείο Μ προς το μέρος της ΓΔ, τέτοιο ώστε το τρίγωνο ΑΒΜ να είναι ισόπλευρο. Αν Ε το μέσο του ευθύγραμμου τμήματος ΒΜ, να υπολογίσετε τη γωνία ΒΕΓ.

Ε.Μ.Ε  Πανελλήνιος Μαθηματικός Διαγωνισμός «Θαλής» 1999

Έστω ευθεία ε και πάνω της τα διαδοχικά σημεία  Α, Β, Γ. Αν Μ είναι το μέσο του ευθύγραμμου τμήματος ΑΒ και  Ν το μέσο του ΒΓ, να υπολογίσετε το ευθύγραμμο  τμήμα ΜΝ, αν

α) ΑΒ = 8  και ΒΓ = 10

β) ΑΒ = 10 και ΑΓ = 18. 

Ε.Μ.Ε  Πανελλήνιος Μαθηματικός Διαγωνισμός «Ευκλείδης» 1999

Δίνεται τραπέζιο ΑΒΓΔ με Α= Δ = 90⁰, ΑΒ = α, ΑΔ = β και ΓΔ = γ. Αν

α+β+γ=30 και οι αριθμοί α, β, γ είναι ανάλογοι των αριθμών 1, 2, 3 να υπολογίσετε το εμβαδόν του τραπεζίου ΑΒΓΔ.  

Ε.Μ.Ε Πανελλήνιος Μαθηματικός Διαγωνισμός «Θαλής» 2000

Έστω ισοσκελές τραπέζιο ΑΒΓΔ (ΒΓ//ΑΔ) με εμβαδόν 120m² και περίμετρο

54 m. Αν ΑΒ = ΓΔ = 12m, να βρείτε το ύψος του.

Ε.Μ.Ε  Πανελλήνιος Μαθηματικός Διαγωνισμός «Θαλής» 2000

Στο παρακάτω σχήμα έχουμε:

α) ε₁ //ε₂

β) ΑΒΓ ισοσκελές τρίγωνο με γωνΒΑΓ = 20⁰

γ) ΓΖ κάθετη στην ΑΓ

δ) ΒΔ διχοτόμος.    

i) Να υπολογίσετε τις γωνίες φ, θ, ω.

ii) Να αποδείξετε ότι ΒΕ και ΓΖ δεν είναι παράλληλες.  

Ε.Μ.Ε Πανελλήνιος Μαθηματικός Διαγωνισμός «Ευκλείδης» 2000

Στο παρακάτω σχήμα το τετράπλευρο ΑΒΓΔ είναι ορθογώνιο και το ευθύγραμμο τμήμα ΚΛ το χωρίζει σε δύο τραπέζια που έχουν ίσα εμβαδά. 

Αν ΒΓ = α, ΓΔ = β, ΒΚ = χ και ΔΛ = ψ, να αποδείξετε ότι:

α) χ =ψ

β) (ΒΟΚ) = (ΔΟΛ)

γ) (ΑΒΟΛ) = (ΓΔΟΚ).   

Ε.Μ.Ε  Πανελλήνιος Μαθηματικός Διαγωνισμός «Θαλής» 2001

Στο παρακάτω σχήμα, το οικόπεδο αποτελείται από το τραπέζιο ΑΒΕΖ και το ορθογώνιο ΒΓΔΕ με Α =90⁰,ΑΒ = ΒΓ = 60m και ΑΖ = 40m. 

Αν το εμβαδόν του οικοπέδου είναι 10200 m², να βρείτε το μήκος της πλευράς ΓΔ.  

 Ε.Μ.Ε Πανελλήνιος Μαθηματικός Διαγωνισμός «Θαλής» 2001

Στο παρακάτω σχήμα, το ΑΒΓΔ είναι τραπέζιο και Ε σημείο της πλευράς ΑΔ τέτοιο ώστε το τρίγωνο ΒΕΓ να είναι ισόπλευρο και τα τρίγωνα ΑΒΕ και ΓΔΕ να είναι ισοσκελή με ΑΒ= ΒΕ και ΔΕ = ΓΔ.

Να υπολογίσετε τη γωνία ω.

Ε.Μ.Ε Πανελλήνιος Μαθηματικός Διαγωνισμός «Ευκλείδης» 2001

Στο παρακάτω  σχήμα, έχουμε:

■  χ΄χ//ψ΄ψ και

■ γωνΑΓΒ = γωνΓΒt = ω και

■ η ευθεία t΄t είναι διχοτόμος της γωνίας ΑΒΓ

■ η ευθεία δ΄δ είναι μεσοκάθετος του ευθύγραμμου τμήματος ΑΒ.

Να βρεθούν οι γωνίες του τριγώνου ΑΒΓ.  

Ε.Μ.Ε Πανελλήνιος Μαθηματικός Διαγωνισμός «Θαλής» 2002

Στο παρακάτω σχήμα το τετράγωνο είναι πλευράς 4 και χωρίζεται με 4 παράλληλες ανά δύο ευθείες στα  4 χρωματισμένα τετράγωνα πλευράς 1. Να βρείτε το άθροισμα των εμβαδών των τετραγώνων που υπάρχουν στο σχήμα.

  

Ε.Μ.Ε Πανελλήνιος Μαθηματικός Διαγωνισμός «Ευκλείδης» 2002

 Στο παρακάτω σχήμα, το τετράπλευρο ΑΒΓΔ είναι ορθογώνιο, η ΖΘ είναι μεσοκάθετος της ΓΕ και το τρίγωνο ΖΕΓ είναι ορθογώνιο (γωνΕΖΓ = 90⁰ ) και ισοσκελές.

Αν γωνΑΖΕ = φ, να υπολογίσετε τη γωνία ΒΕΘ συναρτήσει του φ.  

Ε.Μ.Ε Πανελλήνιος Μαθηματικός Διαγωνισμός «Θαλής» 2003

Έστω τραπέζιο ΑΒΓΔ (ΑΒ//ΓΔ) τέτοιο ώστε γωνΔΑΒ = γωνΑΒΓ = ω και τα τρίγωνα  ΑΒΓ και ΑΓΔ είναι ισοσκελή με ΑΒ = ΑΓ και ΑΔ = ΓΔ.

Να αποδείξετε ότι:

α) η ΑΓ είναι διχοτόμος της γωνίας ΔΑΒ

β) να υπολογίσετε τη γωνία  ω.   

Ε.Μ.Ε Πανελλήνιος Μαθηματικός Διαγωνισμός «Ευκλείδης» 2003

 Στο παρακάτω σχήμα, οι ευθείες δ και ε είναι παράλληλες και το ΑΒΓ είναι ισοσκελές τρίγωνο με ΑΒ = ΑΓ. 

Αν ΑΗ κάθετη στην ΒΓ, ΑΒ = 8, ΑΗ = 6 και η ΑΔ είναι η διχοτόμος της γωνίας ΓΑΕ, να υπολογίσετε:

α) το μήκος του ευθύγραμμου τμήματος  ΓΔ

β) το εμβαδόν του τετραπλεύρου ΑΓΔΕ.  

Ε.Μ.Ε Πανελλήνιος Μαθηματικός Διαγωνισμός «Ευκλείδης» 2003

Έστω ισοσκελές τραπέζιο ΑΒΓΔ με περίμετρο 152 μέτρα και βάσεις ανάλογες των αριθμών 6 και 5. Αν οι μη παράλληλες πλευρές του είναι 10 μέτρα και το ύψος του είναι το 1/9 της μεγάλης βάσης, να υπολογίσετε το εμβαδόν του τραπεζίου.

Ε.Μ.Ε Πανελλήνιος Μαθηματικός Διαγωνισμός «Θαλής» 2004

Στο παρακάτω σχήμα, το Μ είναι το μέσο της πλευράς ΒΓ του τριγώνου ΑΒΓ.

Αν ΛΜΒΓ και ΜΓ = 5 , γωνΜΛΓ = 45⁰, γωνΑΒΛ= 30⁰ και (ΑΒΓ) = 35, να βρείτε:

α) τις γωνίες του τριγώνου ΑΒΓ

β) το ύψος ΑΔ του τριγώνου ΑΒΓ.   

Ε.Μ.Ε Πανελλήνιος Μαθηματικός Διαγωνισμός «Ευκλείδης» 2004

Στο παρακάτω σχήμα, τα τρίγωνα ΑΟΒ και ΓΟΔ είναι ισόπλευρα πλευράς α.

Αν ΒΕ κάθετη στην ΒΔ, να αποδείξετε ότι:

α)γωνΑΕΒ = 30⁰

β) ΒΓ = ΒΕ            

γ) ΑΒ = ΑΕ.  

Ε.Μ.Ε Πανελλήνιος Μαθηματικός Διαγωνισμός «Θαλής» 2005  

 Έστω γωνία ΧΟΥ= 70⁰ και οι ημιευθείες,  ΟΑ κάθετη στην ΟΧ και ΟΒ κάθετη στην ΟΥ. Να υπολογίσετε τα μέτρα των γωνιών ΑΟΒ, ΑΟΥ και ΒΟΧ.