Αλυσίδα εξισώσεων: βρείτε το συνολικό άθροισμα και το A+Z

Δίνονται $26$ άγνωστοι $A,B,C,…,Y,Z$ που ικανοποιούν τις $25$ εξισώσεις $$A+B=1,\quad B+C=2,\quad C+D=3,\ \ldots,\ X+Y=24,\ Y+Z=25.$$

(α) Να βρεθεί το άθροισμα $S=A+B+C+\cdots+Y+Z$.
(β) Να βρεθεί το $A+Z$.

Πολυσύνθετη Εξίσωση Συνάρτησης

Έστω $f(x)=x^2+12x+30$. Βρείτε όλους τους πραγματικούς αριθμούς $x$ για τους οποίους ισχύει $$f(f(f(f(f(x)))))=0.$$

Ακριβής τιμή με ριζικά 3ης και 4ης τάξης

Έστω $\alpha$ πραγματική ρίζα της εξίσωσης

$$\alpha^{3}-\alpha-1=0.$$

Να βρεθεί η ακριβής τιμή της παράστασης

$$\sqrt[3]{3{\alpha }^2-4\alpha }+\sqrt[4]{2{\alpha }^2+3\alpha +2}\mathrm{.}$$

Εξίσωση με υπερυψωμένους εκθέτες και ρίζες

Αν 

$4^{\,4^{4}}=\sqrt[128]{\,2^{\,2^{\,2n}}\,}$

να βρεθεί το \(n\).

Όταν οι ρίζες συναντούν τους εκθέτες: μια συμμετρική εξίσωση

Να λυθεί η εξίσωση:

$${\left(\sqrt{x}\right)}^{\sqrt[3]{x}}={\left(\sqrt[3]{x}\right)}^{\sqrt{x}}\mathrm{.}$$

Άθροισμα θετικών λύσεων τριγωνομετρικής εξίσωσης

Να βρεθεί το άθροισμα όλων των θετικών λύσεων της εξίσωσης

$$2\cos (2x)(\cos (2x)-\cos \text{\hspace{0.17em}⁣}\left(\frac{2014{\pi }^2}{x}\right))=\cos (4x)-1.$$$$\mathbf{\text{(A)}}\pi \mathbf{\text{(B)}}810\pi \mathbf{\text{(C)}}1008\pi \mathbf{\text{(D)}}1080\pi \mathbf{\text{(E)}}1800\pi$$

Οι Εξισώσεις Πεδίου του Einstein: Η Γλώσσα της Βαρύτητας και του Χωροχρόνου

Οι Εξισώσεις Πεδίου του Einstein αποτελούν τη θεμελιώδη βάση της Γενικής Σχετικότητας. Συνδέουν τη γεωμετρία του χωροχρόνου με την κατανομή της ύλης και της ενέργειας στο σύμπαν.

Με απλά λόγια, οι εξισώσεις αυτές περιγράφουν πώς η μάζα και η ενέργεια καμπυλώνουν τον χώρο και τον χρόνο, δημιουργώντας το φαινόμενο που αντιλαμβανόμαστε ως βαρύτητα.

---

📌 Η Εξίσωση

Τριώροφος πύργος εκθετών

Να λυθεί η εξίσωση:

Σχέση Μήκους Τόξου με Ρίζες Δευτεροβάθμιας Εξίσωσης

Στο μέσο του ευθύγραμμου τμήματος AB, το οποίο έχει μήκος $p$, υψώνεται κάθετο τμήμα MR μήκους $q$. Από το σημείο R γράφεται τόξο με ακτίνα ίση με $\dfrac{AB}{2}$​, το οποίο τέμνει το AB στο σημείο T.

Να βρείτε τη δευτεροβάθμια εξίσωση της οποίας ρίζες είναι τα μήκη $AT$ και $TB$.

$$\boxed{ \begin{aligned} \textbf{(A)}\ &x^2 + px + q^2 = 0 \\ \textbf{(B)}\ &x^2 - px + q^2 = 0 \\ \textbf{(C)}\ &x^2 + px - q^2 = 0 \\ \textbf{(D)}\ &x^2 - px - q^2 = 0 \\ \textbf{(E)}\ &x^2 - px + q = 0 \end{aligned}}$$

Η Εξίσωση του Pell: Ένα Αρχαίο Μαθηματικό Μυστήριο

Μια εξίσωση που συνδέει την αρχαία μαθηματική σκέψη με σύγχρονες ιδέες (ακόμα και στην κρυπτογραφία):

$$x^2-D{y}^2=1,D\in \mathbb{N}\mathrm{.}$$

Τι είναι η εξίσωση του Pell;

Η εξίσωση του Pell είναι διοφαντική εξίσωση της μορφής

$x^2−Dy^2=±1,x,y∈Z$

Η μεγαλύτερη ρίζα σε μορφή $a+\sqrt{\,b+\sqrt{c}\,}​$

 Έστω m η μεγαλύτερη πραγματική λύση της εξίσωσης

$$\frac{3}{x-3}+\frac{5}{x-5}+\frac{17}{x-17}+\frac{19}{x-19}=x^2-11x-4.$$

Υπάρχουν θετικοί ακέραιοι a,b,c ώστε

$m=a+\sqrt{\,b+\sqrt{c}\,}.​$

Να βρείτε το άθροισμα a+b+c.

2014 AIME I

Η Εξίσωση στο Κάδρο

Μια απλή ισότητα που πολλοί κάνουν λάθος στη λύση της.

Τριγωνομετρικής Εξίσωσης στο Διάστημα [0,π]

Να λυθεί η εξίσωση $$\sin \left( \frac{\pi}2 \cos x\right)=\cos \left( \frac{\pi}2 \sin x\right)$$ σο διάστημα  $[0,\pi].$ 

$\textbf{(A) }0 \qquad \textbf{(B) }1 \qquad \textbf{(C) }2 \qquad \textbf{(D) }3\qquad \textbf{(E) }4$

Σχέδιο Μαθήματος: Ανισώσεις Α’ Βαθμού (Άλγεβρα Β’ Γυμνασίου)

Τάξη: Β’ Γυμνασίου
Μάθημα: Άλγεβρα
Διάρκεια: 45 λεπτά
Ημερομηνία: ___________

Στόχοι Μάθησης

Γενικός Στόχος

Οι μαθητές να μάθουν να λύνουν ανισώσεις Α’ βαθμού και να εκφράζουν τις λύσεις τους με σύνολο τιμών και σε αριθμογραμμή.

Άλγεβρα στο πιάτο

Ούτε στη σούπα δε γλιτώνουμε από τα μαθηματικά!

Το κουτάλι σε ρωτά:

$$2x=\mathrm{4x}-8$$

Μπορείς να βρεις το $x$; 😄

Ο Κανόνας των Προσήμων του Ντεκάρτ

Ο Κανόνας των Προσήμων διατυπώθηκε από τον Ρενέ Ντεκάρτ στο έργο του La Géométrie και παρέχει έναν απλό αλλά ισχυρό τρόπο εκτίμησης του αριθμού των πραγματικών ριζών ενός πολυωνύμου.

Διατύπωση του Κανόνα

Αν έχουμε ένα πολυώνυμο με πραγματικούς συντελεστές της μορφής:

$$ f(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \cdots + a_1 x + a_0 $$

👽 Η Εξίσωση του Drake — Μπορούμε να Υπολογίσουμε Πόσοι Εξωγήινοι Υπάρχουν;

Το 1961 ο αστρονόμος Frank Drake πρότεινε μια διάσημη εξίσωση για να εκτιμήσουμε πόσοι πολιτισμοί στον Γαλαξία μας μπορούν να επικοινωνήσουν μαζί μας. Η εξίσωση δεν δίνει μια μοναδική απάντηση· μας βοηθά να σκεφτούμε ποιοι παράγοντες καθορίζουν την πιθανότητα ύπαρξης εξωγήινων πολιτισμών.

Η εξίσωση

$$N = R_* \cdot f_p \cdot n_e \cdot f_l \cdot f_i \cdot f_c \cdot L$$

Όπου:

Σχέδιο Μαθήματος: Εξισώσεις Α’ Βαθμού (Άλγεβρα Β’ Γυμνασίου)

Τάξη: Β’ Γυμνασίου
Μάθημα: Άλγεβρα
Διάρκεια: 45 λεπτά
Ημερομηνία: ___________

Στόχοι Μάθησης

Γενικός Στόχος

Οι μαθητές να μάθουν να λύνουν εξισώσεις Α’ βαθμού με έναν άγνωστο και να ελέγχουν τις λύσεις τους.

[35] - Algebraic Equations for and from Math Contests

Να λυθεί η εξίσωση: $$ \left(\sqrt[7]{5\sqrt{2} + 7}\right)^{x} - \left(\sqrt[7]{5\sqrt{2} - 7}\right)^{x} = 140 \sqrt{2}. $$

Εξίσωση Εισαγωγής στο Harvard – Ποιος θα τη Λύσει;