▪ Να προσπαθείς

Για να πετύχει κανείς στη Γεωµετρία, είτε ως δηµιουργός είτε απλά στη λύση προβληµάτων, πρέπει να είναι πρόθυµος να πειραµατίζεται, να σχεδιάζει και να δοκιµάζει αµέτρητα σχήµατα, να προσπαθεί και τούτο, να προσπαθεί και τ' άλλο. Ο Γαλιλαίος (1564-1642) προσπάθησε το 1599 να υπολογίσει το εµβαδόν της κυκλοειδούς καµπύλης κάτω από µια αψίδα, τοποθετώντας στο ένα µέρος µιας ζυγαριάς ένα κυκλοειδές πρότυπο και στο άλλο κυκλικά πρότυπα που είχαν το µέγεθος του κύκλου που δηµιουργούσε την κυκλοειδή καµπύλη.

Εξαιτίας µιας µικρής ατέλειας της ζυγαριάς, κατέληξε στο λαθεµένο συµπέρασµα ότι το εµβαδόν κάτω από ένα πλήρες τόξο της είναι περίπου, αλλά όχι ακριβώς, ίσο µε το τριπλάσιο του εµβαδού του κύκλου. Η πρώτη µαθηµατική απόδειξη που δηµοσιεύτηκε και που έδειχνε ότι το εµβαδόν είναι ακριβώς τριπλάσιο του εµβαδού του κύκλου εµφανίστηκε στα 1644 από τον µαθητή του Evangelista Torricelli (1608-1647) µε χρήση των πρώτων µεθόδων ολοκλήρωσης.

Σημείωση

Κυκλοειδής καµπύλη είναι η καµπύλη που δηµιουργεί ένα σταθερό σηµείο της περιφέρειας ενός κύκλου,  ο οποίος κυλάει χωρίς να γλιστράει πάνω σε  µια ευθεία γραµµή.