🔢 Γιατί ο λογάριθμος ορίζεται μόνο για θετικούς αριθμούς; Από τον Bernoulli και τον Leibniz στον μιγαδικό λογάριθμο

Στο σχολείο μαθαίνουμε ότι, για

\[ 0<a\neq1,\qquad x>0, \]

ορίζουμε

\[ \log_a x=y \quad\Longleftrightarrow\quad a^y=x. \]

Και τότε ισχύουν οι γνωστές ιδιότητες:

\[ \log_a(xy)=\log_a x+\log_a y, \] \[ \log_a\left(\frac{x}{y}\right) = \log_a x-\log_a y. \]

Αλλά γιατί απαιτούμε

\[ x>0; \]

Μπορούμε να μιλήσουμε για τον λογάριθμο ενός αρνητικού αριθμού;

Γιατί όχι στους πραγματικούς αριθμούς;

Αν \(a>0\), τότε για κάθε πραγματικό \(y\) ισχύει

\[ a^y>0. \]

Άρα η εξίσωση

\[ a^y=-1 \]

δεν έχει πραγματική λύση.

Επομένως, μέσα στους πραγματικούς αριθμούς,

\[ \log_a(-1) \]

δεν μπορεί να οριστεί.

Το εμπόδιο λοιπόν δεν είναι αυθαίρετο: προκύπτει από την ίδια τη φύση της πραγματικής εκθετικής συνάρτησης.

Και στους μιγαδικούς αριθμούς;

Στο μιγαδικό επίπεδο κάθε μη μηδενικός μιγαδικός αριθμός γράφεται ως

\[ z=|z|e^{i\theta}, \]

όπου \(|z|\) είναι το μέτρο του και \(\theta\) ένα επιχείρημά του.

Επειδή όμως

\[ e^{i(\theta+2\pi k)}=e^{i\theta}, \qquad k\in\mathbb Z, \]

ο ίδιος μιγαδικός αριθμός έχει άπειρα πολλά επιχειρήματα:

\[ \theta+2\pi k. \]

Άρα ο μιγαδικός λογάριθμος δεν έχει μία μόνο τιμή. Γράφουμε:

\[ \log z = \ln|z| + i(\arg z+2\pi k), \qquad k\in\mathbb Z. \]

Το κρίσιμο σημείο

Στους πραγματικούς αριθμούς ο λογάριθμος είναι μία συνάρτηση. Στους μιγαδικούς, αν δεν επιλέξουμε έναν συγκεκριμένο κλάδο, είναι φυσικά πολυτιμής.

Το παράδειγμα του \(-1\)

Από τον τύπο του Euler

\[ e^{i\pi}=-1 \]

αλλά επίσης

\[ e^{i(\pi+2\pi k)}=-1. \]

Άρα

\[ \log(-1) = i(\pi+2\pi k), \qquad k\in\mathbb Z. \]

Δηλαδή:

\[ \ldots,-3\pi i,\,-\pi i,\,\pi i,\,3\pi i,\ldots \]

είναι όλες δυνατές τιμές του μιγαδικού λογαρίθμου του \(-1\).

Η ιστορική διαμάχη

Το ερώτημα δεν απασχόλησε μόνο μαθητές. Στις αρχές του 18ου αιώνα προκάλεσε σοβαρή διαφωνία ανάμεσα σε κορυφαίους μαθηματικούς.

Ο Johann Bernoulli υποστήριζε ότι

\[ \log(-x)=\log x, \]

ενώ ο Leibniz θεωρούσε ότι οι λογάριθμοι αρνητικών αριθμών πρέπει να είναι μιγαδικοί. Η διαμάχη τους παρέμεινε ανοιχτή για χρόνια. :chatgpt-content-reference{index="1"}

Ο Leonhard Euler έδωσε το αποφασιστικό ξεκαθάρισμα το 1749. Έδειξε ότι, για \(x>0\),

\[ \log(-x) = \ln x+i(2k+1)\pi, \qquad k\in\mathbb Z. \]

Με άλλα λόγια, το πρόβλημα δεν λύνεται με μία μόνο τιμή: ο μιγαδικός λογάριθμος έχει εγγενώς πολλαπλές τιμές. :chatgpt-content-reference{index="2"}

Ο κύριος κλάδος

Για να δουλεύουμε με μία συγκεκριμένη τιμή, επιλέγουμε συνήθως το κύριο επιχείρημα

\[ -\pi<\operatorname{Arg}z\le\pi. \]

Τότε ορίζουμε τον κύριο λογάριθμο

\[ \operatorname{Log}z = \ln|z| + i\operatorname{Arg}z. \]

Έτσι, για παράδειγμα,

\[ \operatorname{Log}(-1)=i\pi, \]

και

\[ \operatorname{Log}(1+i) = \ln\sqrt2+\frac{i\pi}{4}. \]

Η ουσία

Το \(x>0\) δεν είναι ένας τεχνητός σχολικός περιορισμός. Είναι το φυσικό όριο του πραγματικού λογαρίθμου. Μόλις περάσουμε στους μιγαδικούς αριθμούς, ο λογάριθμος συνεχίζει να υπάρχει — αλλά γίνεται πολύ πιο πλούσιος και πολύ πιο περίπλοκος.

Και αυτή είναι μία από τις πιο όμορφες μεταβάσεις στα μαθηματικά: μια φαινομενικά απλή ερώτηση — «γιατί όχι αρνητικοί αριθμοί;» — μας οδηγεί από την άλγεβρα του σχολείου στη μιγαδική ανάλυση.

Ιστορική σημείωση: Η διαμάχη για τους λογαρίθμους αρνητικών και φανταστικών αριθμών απασχόλησε ιδιαίτερα τους Leibniz και Johann Bernoulli και αποσαφηνίστηκε ουσιαστικά από τον Euler τον 18ο αιώνα.

📚

Έρχεται το πολλαπλό βιβλίο ΝΕΟ — βρες όλες τις επιλογές εδώΠολλαπλό βιβλίο ΝΕΟ — 437 βιβλία σε PDF

PDF & Ψηφιακά Μαθησιακά Αντικείμενα — χωρίς εγγραφή • Portify

📚 437 βιβλία🎬 22.000+ Ψηφιακά Μαθησιακά Αντικείμενα

Δες τα βιβλία →