▪ Γ΄ Γυμνασίου: Η έννοια του συνόλου

Η έννοια του συνόλου

Σε πολλές περιπτώσεις συνηθίζουμε να συλλέγουμε ή να επιλέγουμε διάφορα αντικείμενα και να τα ταξινομούμε σε ομάδες ή κατηγορίες. Για παράδειγμα, τα βιβλία μιας βιβλιοθήκης ανάλογα με το περιεχόμενο τους ταξινομούνται σε ιστορικά, λογοτεχνικά, ιατρικά κ.τ.λ. Σε κατηγορίες επίσης, ταξινομούμε τους αριθμούς (φυσικοί, ακέραιοι, ρητοί, άρρητοι, πραγματικοί, θετικοί, αρνητικοί κ.τ.λ.), τα γράμματα της αλφαβήτου (φωνήεντα, σύμφωνα, μικρά, κεφαλαία κ.τ.λ.) και κάθε ομάδα αντικειμένων τα οποία διακρίνονται μεταξύ τους με απόλυτη σαφήνεια. Ομάδες ή κατηγορίες, όπως οι παραπάνω, ονομάζονται στα Μαθηματικά, σύνολα.

Κάθε αντικείμενο που περιέχεται σ´ ένα σύνολο ονομάζεται στοιχείο του συνόλου.

Παράσταση συνόλου

Κάθε σύνολο συμβολίζεται μ´ ένα κεφαλαίο γράμμα της αλφαβήτου (Α, Β, Γ, ...) και παριστάνεται με τους εξής τρόπους:

α) Με αναγραφή των στοιχείων του

Γράφουμε μία μόνο φορά καθένα από τα στοιχεία του και με οποιαδήποτε σειρά τα τοποθετούμε ανάμεσα σε δύο άγκιστρα. Π.χ. το σύνολο των γραμμάτων της λέξης ελευθερία είναι Α = {ε, λ, υ, θ, ρ, ι, α}, το σύνολο των ψηφίων του αριθμού 2004 είναι Β = {2, 0, 4}, κ.τ.λ.

Μερικές φορές χρησιμοποιούμε παρόμοιο συμβολισμό για να παραστήσουμε και ένα σύνολο που έχει πολλά ή άπειρα στοιχεία. Στην περίπτωση αυτή γράφουμε μερικά στοιχεία του και για τα υπόλοιπα, που θα πρέπει να εννοούνται με σαφήνεια, χρησιμοποιούμε αποσιω-πητικά. Π.χ. το σύνολο των μικρών γραμμάτων της Ελληνικής αλφαβήτου είναι Α = {α, β, γ, ..., x, y, ω}, το σύνολο των φυσικών αριθμών είναι Ν = {0, 1, 2, 3, 4, ...}.

Στα προηγούμενα παραδείγματα παρατηρούμε ότι το στοιχείο β ανήκει στο σύνολο Α, ενώ δεν ανήκει στο σύνολο Ν. Αυτό συμβολίζεται αντίστοιχα ως εξής:

β ∈ A και β ∉ N

β) Με περιγραφή των στοιχείων του

Το σύνολο Α = {0, 2, 4, 6, 8, …}, που έχει ως στοιχεία τους άρτιους φυσικούς αριθμούς, μπορούμε να το παραστήσουμε και ως εξής:

Α = {άρτιοι φυσικοί αριθμοί} ή Α = {x∈ N, όπου x άρτιος αριθμός}

Στην προηγούμενη περίπτωση λέμε ότι παριστάνουμε το σύνολο με περιγραφή των στοιχείων του.

γ) Με διάγραμμα Venn
Ένα σύνολο μπορούμε να το παραστήσουμε εποπτικά και με το εσωτερικό μιας κλειστής γραμμής. Π.χ. το σύνολο των φωνηέντων της Ελληνικής αλφαβήτου φαίνεται στο διπλανό διάγραμμα, το οποίο ονομάζεται διάγραμμα Venn.
Ίσα σύνολα

Αν πάρουμε τα σύνολα Α = {α, ε, ι, υ} και Β = {φωνήεντα της λέξης ευτυχία}, παρατηρούμε ότι το σύνολο Β με αναγραφή των στοιχείων του γράφεται Β = {ε, υ, ι, α} και έχει τα ίδια ακριβώς στοιχεία με το σύνολο Α. Στην περίπτωση αυτή λέμε ότι τα σύνολα Α, Β είναι ίσα και

γράφουμε Α = Β.

Δύο σύνολα είναι ίσα, όταν έχουν τα ίδια ακριβώς στοιχεία.

Υποσύνολο συνόλου
Αν πάρουμε τα σύνολα
Α = {α, ε, ι, υ} και Β = {ε, λ, υ, θ, ρ, ι, α},
παρατηρούμε ότι κάθε στοιχείο του συνόλου Α είναι και στοιχείο του συνόλου Β.Στην περίπτωση αυτή λέμε ότι το σύνολο Α είναι υποσύνολο του συνόλου Β και το συμβολίζουμε $Α\subseteq{Β}$.

Ένα σύνολο Α ονομάζεται υποσύνολο ενός συνόλου Β, όταν κάθε στοιχείο του Α είναι και στοιχείο του Β.

Άμεσες συνέπειες του προηγούμενου ορισμού είναι και οι προτάσεις:

− Για κάθε σύνολο Α ισχύει A ⊆ Α.
− Αν A ⊆ Β και Β ⊆ Γ, τότε A ⊆ Γ.
Οι γνωστοί μας αριθμοί και τα αντίστοιχα σύνολά τους συμβολίζονται ως εξής:
▪ Φυσικοί αριθμοί 
Ν = {0, 1, 2, 3, 4, …}
▪ Ακέραιοι αριθμοί 
Ζ = {… , -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, …}
▪ Ρητοί αριθμοί 
Q = { , όπου α, β ακέραιοι, με β ≠ θ}
▪ Πραγματικοί αριθμοί 
R = {ρητοί ή άρρητοι αριθμοί}
Τα σύνολα με τα οποία ασχολούμαστε κάθε φορά είναι συνήθως υποσύνολα ενός ευρύτερου συνόλου, που ονομάζεται βασικό σύνολο. Αυτό παριστάνεται με το εσωτερικό ενός ορθογωνίου και συμβολίζεται με Ω. Π.χ. με βασικό σύνολο Ω = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} μπορούμε να δημιουργήσουμε διάφορα υποσύνολά του, όπως A = {1, 2, 3, 4, 5}, B = {2, 4, 6} κ.τ.λ.
Κενό σύνολο
Το σύνολο Α = {ημέρα της εβδομάδας που αρχίζει από Μ} δεν περιέχει κανένα στοιχείο, αφού δεν υπάρχει ημέρα της εβδομάδας που να αρχίζει από Μ. Στην περίπτωση αυτή το σύνολο Α ονομάζεται κενό σύνολο και συμβολίζεται ∅.
Κενό σύνολο ονομάζεται το σύνολο που δεν περιέχει κανένα στοιχείο και συμβολίζεται ∅ .
Δεχόμαστε ότι το κενό σύνολο είναι υποσύνολο οποιουδήποτε συνόλου.
Πράξεις με σύνολα
α) Ένωση συνόλων
Αν πάρουμε τα σύνολα Α = {1, 2, 3}, Β = {2, 3, 4, 5}, τότε μπορούμε να σχηματίσουμε ένα νέο σύνολο που έχει ως στοιχεία τα κοινά και μη κοινά στοιχεία των δύο συνόλων. Το νέο αυτό σύνολο ονομάζεται ένωση των συνόλων Α και Β και συμβολίζεται Α U Β.
Άρα Α U Β = {1, 2, 3, 4, 5}.
Από τον προηγούμενο ορισμό προκύπτει ότι ένα στοιχείο ανήκει στην ένωση δύο συνόλων Α, Β, αν ανήκει στο σύνολο Α ή στο σύνολο Β, δηλαδή αν ανήκει σ´ ένα τουλάχιστον από αυτά.
β) Τομή συνόλων

Αν πάρουμε τα σύνολα Α = {1, 2, 3}, Β = {2, 3, 4, 5}, τότε μπορούμε να σχηματίσουμε ένα νέο σύνολο που έχει ως στοιχεία τα κοινά στοιχεία των δύο συνόλων. Το νέο αυτό σύνολο ονομάζεται τομή των συνόλων Α, Β και συμβολίζεται Α ∩ Β. Άρα

Α ∩ Β = {2, 3}.

Από τον προηγούμενο ορισμό προκύπτει ότι ένα στοιχείο ανήκει στην τομή δύο συνόλων Α, Β, αν ανήκει και στο σύνολο Α και στο σύνολο Β.
γ) Συμπλήρωμα συνόλου
Αν πάρουμε το σύνολο Α = {1, 2, 3, 4} και ως βασικό σύνολο Ω θεωρήσουμε το σύνο- λο Ω = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}, τότε μπορούμε να σχηματίσου με ένα νέο σύνολο που έχει ως στοιχεία όλα τα στοιχεία του Ω που δεν ανήκουν στο Α. Το νέο αυτό σύνολο ονομάζεται συμπλήρωμα του Α ως προς το Ω και συμβολίζεται Α΄. Άρα

Α΄ = {0, 5, 6, 7, 8, 9}.

Όπως φαίνεται και από το παρακάτω διάγραμμα Venn, ισχύουν:

A U A΄ = Ω και Α ∩ Α΄ = Ø.

Από το σχολικό βιβλίο των Μαθηματικών της Γ΄ Γυμνασίου.