▪ $\sqrt{α^2\pmβ^2}$

Αν α, β είναι γνωστά τμήματα, να κατασκευάσετε το τμήμα k , που ορίζεται από την ισότητα: 

i) $k=\sqrt{α^2+β^2}$ ii) $k=\sqrt{α^2-β^2}$ .

Λύση (i) Η δοσμένη ισότητα γράφεται ισοδύναμα k2 = α2+β2, οπότε το ζητούμενο τμήμα k είναι υποτείνουσα ορθογώνιου τριγώνου με κάθετες πλευρές α, β. Επομένως, αν πάνω στις κάθετες πλευρές Ox, Oy μίας ορθής γωνίας xÔy πάρουμε αντίστοιχα τα σημεία Α, Β, ώστε ΟΑ=α και ΟΒ=β, τότε ΑΒ2 = OA2 + OB2 = α2 + β2 και επομένως το τμήμα ΑΒ είναι το ζητούμενο τμήμα k. Είναι φανερό ότι το τμήμα k κατασκευάζεται για οποιαδήποτε τμήματα α, β. (ii) Η δοσμένη ισότητα γράφεται ισοδύναμα k2 = α2-β2 η οποία σημαίνει ότι το ζητούμενο τμήμα k είναι η μία κάθετη πλευρά ορθογώνιου τριγώνου με υποτείνουσα α και άλλη κάθετη πλευρά το β. Η κατασκευή είναι όμοια της (i). Aπό το σχολικό βιβλίο Γεωμετρίας της Α΄-Β΄ Λυκείου.