Έστω $Μ$ το μέσο της πλευράς $ΒΓ$ του τριγώνου $ΑΒΓ$ και $Ρ$ το σημείο τομής των διχοτόμων του. Δίνεται ότι $ΜΡ = ΡΑ$. Να βρεθεί η ελάχιστη δυνατή τιμή της γωνίας $ΜΡΑ$.
Eνδιαφέρον θέμα! Για να ισχύει το ΜΡ=ΡΑ βρίσκω πως πρέπει να ισχύει ΒΓ=2ΑΒ. Με διανυσματική ανάλυση (τριγωνικές ανισότητες στις νόρμες) και λίγο διαφορικό λογισμό και τριγωνομετρία βρίσκω ΜΡΑ μινιμουμ= 5π/6 . Κάποιος που τα καταφέρνει καλύτερα στη Ευκλείδεια γεωμετρία ,ελπίζω να με επιβεβαιώσει.
4 σχόλια:
Eνδιαφέρον θέμα! Για να ισχύει το ΜΡ=ΡΑ βρίσκω πως πρέπει να ισχύει ΒΓ=2ΑΒ. Με διανυσματική ανάλυση (τριγωνικές ανισότητες στις νόρμες) και λίγο διαφορικό λογισμό και τριγωνομετρία βρίσκω ΜΡΑ μινιμουμ= 5π/6 . Κάποιος που τα καταφέρνει καλύτερα στη Ευκλείδεια γεωμετρία ,ελπίζω να με επιβεβαιώσει.
ΑπάντησηΔιαγραφή$MP=PA \Rightarrow AB=BM= \dfrac{BC}{2} \Rightarrow BC=2AB $ ή $BC=2AC$ (ίδια περίπτωση). Τετράπλευρο $APMC$ εγγράψιμο (γωνία $APM =2 \dfrac{A \widehat{P}M }{2}=2( \dfrac{ \widehat{A} }{2}+ \dfrac{ \widehat{B} }{2})= \widehat{A} + \widehat{B}=180°- \widehat{C} $
ΑπάντησηΔιαγραφήΓωνία $APM$ ελάχιστη όταν γωνία $ACB$ μέγιστη.
Γωνία $ACB$ γίνεται μέγιστη όταν $CA$ εφαπτομένη του κύκλου $(B,BA)$, τουτέστιν το τρίγωνο $BAC$ ορθογώνιο,άρα γωνία $ACB=30°$ ($BC=2AB$), άρα ελάχιστη τιμή γωνίας $APM=150°= \dfrac{5 \pi }{6}$
Υ.Γ κύριε Ρωμανίδη κάτι πρέπει να γίνει έτσι ώστε να μπορούμε να επεμβαίνουμε στην ανάρτηση μας για μικροδιορθώσεις, αν είναι εύκολο βέβαια.
ΔιαγραφήΔεν υπάρχει, από όσο ξέρω, αυτή η δυνατότητα στο blogspot, κ. Αλεξίου ...
Διαγραφή