Λογάριθμος αρνητικού αριθμού. Υπάρχει;

Υπάρχει!
Για παράδειγμα, ο λογάριθμος του $-1$ είναι:

$ln(-1) = iπ$.

Πράγματι, αν θέσουμε στον τύπο του Euler 

$e^{iθ}=cosθ + isinθ$

όπου $θ=π$, τότε έχουμε 

$e^{iπ}=cosπ + isinπ=-1$.