Δύο ευθύγραμμες σιδηροτροχιές τέμνονται σχηματίζοντας ορθές γωνίες. Δύο τρένα κινούνται ταυτόχρονα προς το σημείο τομής των σιδηροτροχιών.
Το ένα έχει ξεκινήσει από κάποιο σταθμό που απέχει 40 χιλιόμετρα από το σημείο τομής, και το άλλο από κάποιο σταθμό που απέχει 50 χιλιόμετρα από το ίδιο σημείο.
Το πρώτο τρένο έχει ταχύτητα 800 μέτρα ανά λεπτό και το δεύτερο 600 μέτρο ανά λεπτό.
Το πρώτο τρένο έχει ταχύτητα 800 μέτρα ανά λεπτό και το δεύτερο 600 μέτρο ανά λεπτό.
Σε πόσα λεπτά μετά την αναχώρησή τους θα έχουν οι αμαξοστοιχίες την ελάχιστη απόσταση μεταξύ τους; Υπολογίστε τη συγκεκριμένη απόσταση.
(Από το βιβλίο του Yakov Perelman «Διασκεδαστικά Μαθηματικά» Μέρος 2ο: Άλγεβρα, εκδόσεις Κάτοπτρο, 2001)
Διασκεδαστικά Μαθηματικά www.eisatopon.blogspot.com
1 σχόλιο:
Ας υποθέσουμε ότι το πρώτο τρένο κινείται πάνω στον άξονα χ και το δεύτερο πάνω στον άξονα ψ. Οι αρχικές τους αποστάσεις από την αρχή των αξόνων Ο (τομή γραμμών) είναι 40χμ και 50χμ, ενώ οι αποστάσεις τους από την αρχή Ο σε χρόνο t λεπτών από το χρόνο αναχώρησης είναι 40-0,8t και 50-0,6t αντιστοίχως. Η μεταξύ των τρένων απόσταση στο χρόνο t είναι:
ΑπάντησηΔιαγραφήsqrt[(40-0,8t)^2+(50-0,6t)^2] = sqrt(t^2-124t+4100).
Η απόσταση αυτή ελαχιστοποιείται όταν ελαχιστοποιείται και η υπόρριζη ποσότητα t^2-124t+4100, πράγμα που συμβαίνει στην τιμή t που μηδενίζει την πρώτη παράγωγό της.
Επομένως, 2t-124=0 => t=62 λεπτά.
Η απόσταση (ελάχιστη) των τρένων τότε θα είναι
sqrt(62^2-124*62+4100) = sqrt256 = 16χμ.