Kοίλη συνάρτηση

Έστω $f : [0, 1] → [0, 1]$ είναι μια μη φθίνουσα και κοίλη συνάρτηση τέτοια, ώστε $f(0) = 0$ και $f(1) = 1$. 

Να αποδειχθεί ότι 

$\int_0^1 (f(x)f^{-1}(x))^2dx \geq \dfrac{1}{12}$. 

Proposed by Marcel Chirita, Bucharest, Romania

 Διασκεδαστικά Μαθηματικά    www.eisatopon.blogspot.com