3 - Ανισοτική με ολοκλήρωμα

Έστω συνάρτηση $f : [0, 1] → R$ δύο φορές παραγωγίσιμη για την οποία ισχύει 

$[f'(x)]^2 + f(x)f''(x) ≥ 1$. 

Να αποδειχθεί ότι 

$\int_0^1f ^2(x)dx ≥ f ^2(\frac{1}{2}) + \frac{1}{12}$.

Μarcel Chirită, Romania