Θεώρημα της Πεταλούδας Απόδειξη (Στάθης Κούτρας)

Θεώρημα της Πεταλούδας

Δίνεται εγγεγραμμένο σε κύκλο (κέντρου ) τετράπλευρο και ας είναι .

Αν είναι τα σημεία τομής της στο  καθέτου στην  με τις  αντίστοιχα , να δειχθεί ότι  το μέσο της .

Απόδειξη (Στάθης Κούτρας)

Έστω οι ορθές προβολές της στις αντίστοιχα και ας είναι . Με σύμφωνα με το Stathis Koutras Theorem

θα ισχύει:

  . 

Όμως είναι ομόλογα τμήματα των προφανώς ομοίων τριγώνων ( και τα ίχνη των υψών και τα μέσα των ομολόγων πλευρών) και συνεπώς ο λόγος τουs θα ισούται με το λόγο των ομολόγων υψών τους δηλαδή

  . 

Από 

 

το μέσο της και το Θεώρημα της πεταλούδας έχει αποδειχθεί.

Πηγή: mathematica