Γ΄ Λυκείου: Παγκύπριος Διαγωνισμός Μαθηματικών 2018

Πρόβλημα 1

Έστω πραγματική συνάρτηση, συνεχής στο διάστημα και ομόσημοι πραγματικοί αριθμοί.

Να αποδείξετε ότι η εξίσωση

   

έχει λύση στο διάστημα .

Πρόβλημα 2

i. Να αποδείξετε ότι κάθε πρώτος αριθμός γράφεται ως ή , για κάποιον θετικό ακέραιο .

ii. Δίνονται οι αριθμοί , όπου πρώτος αριθμός. 

Να βρείτε όλες τις τριάδες τέτοιες, ώστε οι να είναι πρώτοι αριθμοί.

Πρόβλημα 3

Δίνεται ορθογώνιο τραπέζιο . Έστω το συμμετρικό του ως προς το . Έστω ακόμα το μέσον του και η ορθή προβολή του πάνω στην . Αν η τέμνει την στο , να αποδείξετε ότι οι γωνίες και είναι ίσες.

Πρόβλημα 4

Έστω μια ακολουθία ακεραίων τέτοια, ώστε , για

Να αποδείξετε ότι κάθε θετικός ακέραιος είναι ίσος με μια διαφορά της μορφής για κάποια και .