Β΄ Λυκείου: Παγκύπριος Διαγωνισμός Μαθηματικών 2018

Πρόβλημα 1

Να βρείτε όλα τα ζεύγη θετικών ακεραίων, για τα οποία ισχύει .

Πρόβλημα 2

Έστω συνάρτηση , για την οποία ισχύει για κάθε .

Να αποδείξετε ότι:

i. Η είναι .

ii. , για κάθε

iii. Η είναι περιττή.

Πρόβλημα 3

Δίνεται παραλληλόγραμμο με . Γράφουμε τους κύκλους διαμέτρων και . Ονομάζουμε και τα σημεία τομής των δύο κύκλων και το μέσον του . Αν και είναι τα συμμετρικά του ως προς και , αντίστοιχα, να αποδείξετε ότι τα σημεία είναι κορυφές ρόμβου.

Πρόβλημα 4

Έστω μια ακολουθία ακεραίων τέτοια, ώστε , για

Να αποδείξετε ότι κάθε θετικός ακέραιος είναι ίσος με μια διαφορά της μορφής για κάποια και .