Άλγεβρα Α΄ Λυκείου: Παγκύπριος Διαγωνισμός Μαθηματικών 2018

Πρόβλημα 1

i. Αν , να αποδείξετε ότι

  .

ii. Να βρείτε τους πραγματικούς αριθμούς που ικανοποιούν την εξίσωση

 

Πρόβλημα 2

Να βρείτε όλα τα ζεύγη θετικών ακεραίων, για τα οποία ισχύει .

Πρόβλημα 3

Ένας γυμναστής γυμνάζει μιαν ομάδα αντρών. Αν τοποθετήσεις τους άντρες σε σειρές, ώστε να προκύπτει μια τετραγωνική διάταξη χρησιμοποιώντας τον μεγαλύτερο δυνατό αριθμό αντρών της ομάδας, τότε του περισσεύουν άντρες. Αν θέλει να αυξήσει κατά έναν τους άντρες σε κάθε σειρά της πιο πάνω τετραγωνικής διάταξης, τότε του λείπουν άντρες. 

Να βρείτε τον αριθμό των αντρών της ομάδας που γυμνάζει ο γυμναστής συναρτήσει των και . 

Πρόβλημα 4

Δίνεται παραλληλόγραμμο με . Γράφουμε τους κύκλους διαμέτρων και . Ονομάζουμε και τα σημεία τομής των δύο κύκλων και το μέσον του . Αν και είναι τα συμμετρικά του ως προς και , αντίστοιχα, να αποδείξετε ότι τα σημεία είναι κορυφές ρόμβου.
Πηγή