Α=Σcyc((x^2 + xy)/(√(xz) + y)^2)≥Σcyc(x(x+y)/((x+y)(z+y))),από Cauchy-schwarz:0<√(xz) + y=√x√z+√y√y≤√(x+y)√z+y. Άρα Α≥(x/(y+z)) + ((y/(z+x)) + (z/(x+y))≥3/2 (αν κάνουμε τις πράξεις-ομώνυμα τα κλάσματα, απαλοιφή παρονομαστών στα δύο μέλη της ανισότητας, αναγωγή ομοίων όρων, καταλήγουμε με ισοδυναμίες (αφού x,y,z>0)στην ανισοταυτότητα (x+y)(x-y)^2 + (y+z)(y-z)^2 + (z+x)(z-x)^2 ≥ 0 (x,y,z > 0) και την ισότητα να ισχύει αν και μόνο αν x=y=z>0) .
1 σχόλιο:
Α=Σcyc((x^2 + xy)/(√(xz) + y)^2)≥Σcyc(x(x+y)/((x+y)(z+y))),από Cauchy-schwarz:0<√(xz) + y=√x√z+√y√y≤√(x+y)√z+y. Άρα Α≥(x/(y+z)) + ((y/(z+x)) + (z/(x+y))≥3/2 (αν κάνουμε τις πράξεις-ομώνυμα τα κλάσματα, απαλοιφή παρονομαστών στα δύο μέλη της ανισότητας, αναγωγή ομοίων όρων, καταλήγουμε με ισοδυναμίες (αφού x,y,z>0)στην ανισοταυτότητα (x+y)(x-y)^2 + (y+z)(y-z)^2 + (z+x)(z-x)^2 ≥ 0 (x,y,z > 0) και την ισότητα να ισχύει αν και μόνο αν x=y=z>0) .
ΑπάντησηΔιαγραφή