Τεστ εξάσκησης για την Ελληνική Μαθηματική Ολυμπιάδα «ΑΡΧΙΜΗΔΗΣ» [2]

Practice TEST 2

ΔΙΑΡΚΕΙΑ: 4 ΩΡΕΣ

ΘΕΜΑ 1ο

Αν οι είναι ανά δύο διακεκριμμένοι πραγματικοί αριθμοί, να δειχθεί ότι η τιμή της παράστασης

είναι πάντοτε μη μηδενική.

ΘΕΜΑ 2ο

Σε ισόπλευρο τρίγωνο παίρνουμε τα σημεία στις πλευρές του αντίστοιχα, ώστε η να είναι παράλληλη στην . Έστω το βαρύκεντρο του τριγώνου και έστω το μέσο του τμήματος . Να υπολογίσετε τις γωνίες του τριγώνου .

ΘΕΜΑ 3ο

Έστω μη αρνητικοί πραγματικοί αριθμοί, για τους οποίους ισχύει . Να αποδείξετε ότι:

Πότε ισχύει η ισότητα?

ΘΕΜΑ 4ο

Να βρεθούν όλοι οι θετικοί ακέραιοι που ικανοποιούν την εξίσωση

 

Πηγή: mathematica

Προηγούμενο τεστ:

Practice TEST 1