Τεστ εξάσκησης για την Ελληνική Μαθηματική Ολυμπιάδα «ΑΡΧΙΜΗΔΗΣ» [3]

Practice TEST 3

ΔΙΑΡΚΕΙΑ: 4 ΩΡΕΣ

ΘΕΜΑ 1ο

Έστω θετικός ακέραιος. Αν οι είναι θετικοί πραγματικοί αριθμοί τέτοιοι ώστε , τότε να δειχθεί ότι

ΘΕΜΑ 2ο

Έστω ένα κυρτό τετράπλευρο και έστω ένα σημείο στην πλευρά τέτοιο ώστε Εάν είναι το σημείο τομής της ευθείας με τη μεσοκάθετο του τμήματος , να δειχθεί ότι

ΘΕΜΑ 3ο

Να δειχθεί ότι δεν υπάρχουν θετικοί ακέραιοι τέτοιοι ώστε

ΘΕΜΑ 4ο

Να βρεθεί ο μεγαλύτερος θετικός ακέραιος για τον οποίο υπάρχει ένα σύνολο με ακριβώς στοιχεία τέτοια ώστε

(i) Κάθε στοιχείο του είναι θετικός ακέραιος που δεν ξεπερνά το 2016.

(ii) Για οποιαδήποτε στοιχεία του , όχι απαραίτητα διαφορετικά μεταξύ τους, το γινόμενό τους δεν ανήκει στο

Πηγή: mathematica