Εφόσον τα τρίγωνα CAB και EFD είναι όμοια, προκύπτει ότι AC = EF, AB = FD και BC = ED. Έτσι, έχουμε το εξής σύστημα γραμμικών εξισώσεων: AC = EF === x+y+z=3 (1) AB = FD === z+6=2y−z (2) BC = ED === x+8z= y+2 (3) Το άθροισμα x^2+y^2+z^2 ισούτε με 21. Λύνουμε την εξίσωση (2) ως προς «y» κι’ έχουμε: z+6=2y−z === 2y=6+z+z ===2y=6+2z === 2y=2*(3+z) === y=2*(3+z)/2 === y=3+z (4) Αντικαθιστούμε τη (4) στη (3) κι’ έχουμε: x+8z= y+2 === x+8z=3+z+2 === x=3+z+2-8z === x=5-7z (5) Αντικαθιστούμε τις (4) και (5) στην (1) κι’ έχουμε: x+y+z=3 === 5-7z+3+z+z=3 === 7z=5+2+3-3 === 7z=7 === z=7/7 === z=1 Αντικαθιστούμε την (6) στις (4) και (5) κι’ έχουμε: κι’ έχουμε: y=3+z === y=3+1 === y=4 (7) x=5-7z === x=5-7*1 === x=5-7 === x= -2 (8) Άρα: x^2+y^2+z^2=(-2)^2+4^2+1^2=4+16+1=21 ό.έ.δ.
1 σχόλιο:
Εφόσον τα τρίγωνα CAB και EFD είναι όμοια, προκύπτει ότι AC = EF, AB = FD και BC = ED. Έτσι, έχουμε το εξής σύστημα γραμμικών εξισώσεων:
ΑπάντησηΔιαγραφήAC = EF === x+y+z=3 (1)
AB = FD === z+6=2y−z (2)
BC = ED === x+8z= y+2 (3)
Το άθροισμα x^2+y^2+z^2 ισούτε με 21.
Λύνουμε την εξίσωση (2) ως προς «y» κι’ έχουμε:
z+6=2y−z === 2y=6+z+z ===2y=6+2z ===
2y=2*(3+z) === y=2*(3+z)/2 === y=3+z (4)
Αντικαθιστούμε τη (4) στη (3) κι’ έχουμε:
x+8z= y+2 === x+8z=3+z+2 ===
x=3+z+2-8z === x=5-7z (5)
Αντικαθιστούμε τις (4) και (5) στην (1) κι’ έχουμε:
x+y+z=3 === 5-7z+3+z+z=3 ===
7z=5+2+3-3 === 7z=7 === z=7/7 === z=1
Αντικαθιστούμε την (6) στις (4) και (5) κι’ έχουμε:
κι’ έχουμε:
y=3+z === y=3+1 === y=4 (7)
x=5-7z === x=5-7*1 === x=5-7 === x= -2 (8)
Άρα:
x^2+y^2+z^2=(-2)^2+4^2+1^2=4+16+1=21 ό.έ.δ.