Το θεώρημα της Μετεωρολογίας

Θεώρημα Borsuk-Ulam: 

«Κάθε στιγμή υπάρχουν $2$ μέρη της γης με ίδια θερμοκρασία και πίεση!» 

Ένα ενδιαφέρον συμπέρασμα του θεωρήματος Borsuk–Ulam είναι η πρόβλεψη του, για το ότι καθε χρονική στιγμή στην επιφάνεια της γης, υπάρχει ένα τουλάχιστον μέρος όπου το αντιδιαμετρικό του έχει ακριβώς την ίδια θερμοκρασία και την ίδια ατμοσφαιρική πίεση!

Το αντιδιαμετρικό ενός μέρους πάνω στην επιφάνεια της γης είναι το μέρος που προκύπτει από την τομή, της ευθείας που περνά από το εν λόγω μέρος με το κέντρο της γης, και της επιφανείας της σφαίρας. Όπως φαίνεται στο σχήμα.

Το συμπέρασμα αυτό μπορεί να εκπλήσσει αλλά είναι πλήρως αληθές. Πλήρως αληθές αν υποθέσουμε ότι οι τιμέ της θερμοκρασίες αλλά και οι τιμές της πίεσης είναι συνεχείς πάνω στην επιφάνεια της γης, μεταβάλλονται με συνεχή τρόπο δηλαδή (και όχι με διακριτές τιμές από σημείο σε γειτονικό σημείο), κάτι που βέβαια θεωρούμε ότι ισχύει  έτσι και αλλιώς.

Βέβαια δεν γίνεται να βρεθεί ποια είναι αυτά τα σημεία πρακτικά διότι: 

1ον η θερμοκρασία και η πίεση σε μια περιοχή μεταβάλλονται συνεχώς, 

2ον γιατί ο αριθμός των μετεωρολογικών σταθμών που έχουμε σε όλη την γη καλύπτει ένα ελάχιστο μέρος της επιφάνειας της και 

3ον ακόμα και αν τα λύναμε τα πρώτα 2 οι σταθμοί δεν βγάζουν με ακρίβεια την θερμοκρασία και την πίεση αλλά με κάποιο σφάλμα.

Δηλαδή αφού τα αντιδιαμετρικά σημεία της Ελλάδας είναι μέσα στον Ειρηνικό Ωκεανό ανατολικά της Νέας Ζηλανδίας, μπορεί για μια χρονική στιγμη ένα από τα μέρη (ή το μόνο μέρος) στην γη που το αντιδιαμετρικό του να έχει την ίδια θερμοκρασία και ατμοσφαιρική πίεση με αυτό, να είναι κάποια περιοχή της Ελλάδας με την αντιδιαμετρική της στον Ειρηνικό Ωκεανό αλλά εκεί πέρα δεν υπάρχουν σταθμοί οποτε δεν θα μπορούσαμε να το ξέρουμε.

Το θεώρημα Borsuk–Ulam αναφέρει ότι για κάθε συνεχή συνάρτηση , με και , υπάρχουν 2 αντιδιαμετρικά σημεία της υπερσφαίρας που απεικονίζονται σε ένα σημείο του Ευκλειδιου ν-χωρου, δηλαδή υπάρχει τουλάχιστον ένα  έτσι ώστε $f(x) = f(-x)$.

Αυτό μετεωρολογικά σημαίνει 2 ενδιαφέροντα πράγματα:

α) Οτι κάθε χρονική στιγμή, 2 τουλάχιστον περιοχές του ισημερινού, που θα είναι και αντιδιαμετρικές, έχουν την ίδια θερμοκρασία.

β) Και το προαναφερθέν παραπάνω ότι κάθε χρονική στιγμή στην επιφάνεια της γης υπάρχει ενα τουλάχιστον μέρος όπου το αντιδιαμετρικό του έχει ακριβώς την ίδια θερμοκρασία και την ίδια ατμοσφαιρική πίεση!

Η απόδειξη για το: 

α) προφανής αφού:

Εστω συνεχής συνάρτηση f με και έστω συνάρτηση g με και $g(x)= f(x) – f(-x)$.

Τότε ισχύει όι:

$g(x) = -g(-x)$ για κάθε ή αλλιώς με $r$ η ακτίνα της γης αν μετατρέπαμε το ελλειψοειδές σχήμα της γης τοπολογικά ισοδύναμα σε σφαίρα.

• Αν ισχύει οτι τότε φυσικά g(y)=0 αρα $f(y) – f(-y) = 0$.

Αρα υπάρχει με $f(y) = f(-y)$.

Δηλαδή, υπάρχουν 2 αντιδιαμετρικά σημεία πάνω στον ισημερινό που έχουν ίδια θερμοκρασία (αφου μπορούμε να θεωρήσουμε ως $f(x)$ την συνάρτηση της θερμοκρασίας).

• Αν ισχύει οτι τότε για :

Εστω χωρίς μείωση της γενικότητας ότι  άρα και

Ορίζεται όμως διάστημα [] αφού ισχύει ότι $g$ συνεχής και $g(x) = -g(-x)$ για καθε και  άρα σύμφωνα με το θεώρημα ενδιάμεσης τιμής:

Αρα άτοπο αφού είμαστε στην περίπτωση που η $g(x)$ είναι διάφορη του μηδενός για κάθε $x$.

Οπότε ισχύει η 1η περίπτωση μόνο, άρα πάντα υπάρχει σημείο y πάνω στον ισημερινό όπου $f(x) = f(-x)$, άρα πάντοτε υπάρχουν $2$ αντιδιαμετρικά σημεία πάνω στον ισημερινό με ίδιες θερμοκρασίες.

Η απόδειξη του β) είναι πιο δύσκολη και μπορεί να ανατρέξει κανείς πχ στο βιβλίο «A users’ guide to algebraic topology», Dodson για αυτήν.

Βλέπουμε λοιπόν ότι μερικές φορές τα μαθηματικά μας οδηγούν σε κάποια απροσδόκητα συμπεράσματα!

Πηγή: meteology