Ο Ματθαίος, η Ματθίλδη και ο Ιάκωβος γιορτάζουν σήμερα τα γενέθλιά τους. Είναι όλοι διαφορετικής ηλικίας, και ο Ματθαίος, ο νεότερος από τους τρεις, είναι τέσσερα χρόνια μικρότερος από τον Ιάκωβο, τον μεγαλύτερο.
Καθώς τους αρέσουν οι αριθμοί, διασκεδάζουν υπολογίζοντας όλα τα αθροίσματα δύο ή τριών αριθμών που επιλέγονται από τις ηλικίες τους. Με την πρόσθεση αυτών των αθροισμάτων παίρνουν ένα πρώτο αποτέλεσμα.
Στη συνέχεια υπολογίζουν όλες τις θετικές διαφορές που μπορούν να υπολογιστούν μεταξύ δύο από τις ηλικίες τους, και προσθέτουν αυτές τις διαφορές, παίρνοντας ένα δεύτερο αποτέλεσμα.
Στη συνέχεια διαιρούν το πρώτο αποτέλεσμα με το δεύτερο και, έκπληξη, παίρνουν ακριβώς την ηλικία του Ιάκωβου.
Πόσο χρονών είναι ο Ιάκωβος;
Έρχεται το πολλαπλό βιβλίο ΝΕΟ — βρες όλες τις επιλογές εδώΠολλαπλό βιβλίο ΝΕΟ — 437 βιβλία σε PDF
PDF & Ψηφιακά Μαθησιακά Αντικείμενα — χωρίς εγγραφή • Portify
📚 437 βιβλία🎬 22.000+ Ψηφιακά Μαθησιακά Αντικείμενα
Δες τα βιβλία →
1 σχόλιο:
Ο Ιάκωβος είναι 15 ετών.
ΑπάντησηΔιαγραφήΈστω ότι οι ηλικίες είναι:
Ματθαίος= x
Ματθίλδη= y
Ιάκωβος= z
Εξ ορισμού έχουμε::
z=x+4 (1)
Επίσης:
x<y<z
1. Το πρώτο αποτέλεσμα
Υπολογίζουν όλα τα αθροίσματα δύο ή τριών ηλικιών.
Με τρία άτομα υπάρχουν:
x+y
x+z
y+z
x+y+z
Το άθροισμά τους είναι:
Σα=(x+y)+(x+z)+(y+z)+(x+y+z) === Σα=3x+3y+3z === Σα=3*(x+y+z) (2)
2. Το δεύτερο αποτέλεσμα
Οι θετικές διαφορές είναι:
y−x
z−y
z−x
Το άθροισμά τους είναι:
Σδ=(y−x)+(z−y)+(z−x) === Σδ=y-x+z-y+z-x === Σδ=2z-2x === Σδ=2*(z−x) (3)
Αντικαθιστούμε την (1) στη (3) κι’ έχουμε:
Σδ=2(z−x) === Σδ=2*4 === Σδ=8 (4)
3. Η βασική εξίσωση
Εξ ορισμού δίδεται:
Σα/Σδ=z (5)
Αντικαθιστούμε τις (2) και (4) στη (5) κι’ έχουμε:
Σα/Σδ=z === (3*(x+y+z))/8=z === 3*(x+y+z)=8z (6)
Αντικαθιστούμε την (1) στην (6) κι’ έχουμε:
3*(x+y+z)=8z=== 3*(x+y+x+4)=8*(x+4) === 3*(2x+y+4)=8*(x+4) ===
6x+3y+12=8x+32 === 3y=8x-6x+32-12 === 3y=2x+20 === y=(2x+20)/3 (7)
Για να λάβουμε ακέραιο y πρέπει το (2x+20) να διαιρείται με το 3.
Διερεύνηση:
Λύνουμε τον ένα άγνωστο συναρτήσει του άλλου και κάνουμε την διερεύνηση των ακέραιων ριζών. Δίνοντας στο "x" τις τιμές από το 1 έως
το N, βλέπουμε ότι η μοναδική τιμή που ικανοποιεί τη συνθήκη, σύμφωνα με το δεδομένο x<y<z, και δίνει ακέραιο αριθμό "y" είναι ο αριθμός
x=11 (8).
Αντικαθιστούμε τη τιμή του «x» στην (7) κι’ έχουμε:
y=(2x+20)/3 === y=((2*11)+20)/3 === y=(22+20)/3 === y=42/3 === y=14 (9)
Αντικαθιστούμε την (8) στην (1) κι’ έχουμε:
z=x+4 === z=11+4 === z=15 (10)
Άρα η μοναδική λύση είναι
Ματθαίος: 11
Ματθίλδη: 14
Ιάκωβος: 15
Επαλήθευση:
Σα=3*(x+y+z) === Σα=3*(11+14+15) === Σα=3*40 === Σα=120
Σδ=2*(z−x) === Σδ=2*(15-11) === Σδ=2*4 === Σδ=8
Σα/Σδ=z === 120/8=15 ο. ε. δ.