ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ: Επαρχιακός Διαγωνισμός Γ ′ ΛΥΚΕΙΟΥ 2022 - Πρόβλημα 4

Δίνονται οι παραγωγίσιμες συναρτήσεις $f,g, ℎ: ℝ ⟶ ℝ$, για τις οποίες ισχύουν όλες οι πιο κάτω συνθήκες: 

(1) $f(x) ≠ 0$, για κάθε $x ∈ ℝ$ 

(2) $g(x) = f(x) ⋅ ℎ(x)$, για κάθε $x ∈ ℝ$ 

(3) $ℎ^2(x) = 1 − [ℎ' (x)]^2$, για κάθε $x ∈ ℝ$ 

Να αποδείξετε ότι οι γραφικές παραστάσεις των $f$ και $g$ έχουν κοινή εφαπτομένη σε κάθε ένα από τα κοινά τους σημεία.