Προετοιμασία για τους μαθηματικούς διαγωνισμούς της Ε.Μ.Ε: 7ο ΤΕΣΤ Εξάσκησης (μεγάλοι)

ΘΕΜΑ 1

Να βρεθεί ο ελάχιστος θετικός ακέραιος  για τον οποίο υπάρχουν πραγματικοί αριθμοί  που ικανοποιούν τις συνθήκες

i)  για κάθε 

ii) 

iii) 

ΘΕΜΑ 2

Να βρεθούν όλοι οι πρώτοι αριθμοί  για τους οποίους ο αριθμός  είναι τέλειος κύβος ακεραίου.

ΘΕΜΑ 3

Έστω  ισοσκελές τρίγωνο, με  και  σημεία των πλευρών  και  αντίστοιχα, τέτοια ώστε  Οι ευθείες  και  τέμνονται στο  

Να δείξετε ότι οι διχοτόμοι των γωνιών  και  τέμνονται πάνω στην ευθεία 

ΘΕΜΑ 4

Έστω  ένας μη αρνητικός ακέραιος. Θεωρούμε σκακιέρα  χρωματισμένη εναλλάξ μαύρο - άσπρο.

Ένα τετράγωνο  της σκακιέρας, όπου  θα λέγεται καλό αν η μαύρη επιφάνειά του έχει μεγαλύτερο εμβαδό από την άσπρη επιφάνειά του.

Αν η αρχική σκακιέρα είναι ένα καλό τετράγωνο, να βρείτε, συναρτήσει του , το πλήθος όλων των καλών τετραγώνων της σκακιέρας.

 Επιμέλεια: Θανάσης Κοντογεώργης 

Πηγή: mathematica