Ελάχιστη τιμή

Να βρεθεί η ελάχιστη τιμής της συνάρτησης (χωρίς παραγώγους):

$f(x) = \sqrt{​x^2+​4​x+​13}+​\sqrt{​x^2-​8​x+​41}$

Λύση

Έχουμε 

$f(x)=\sqrt{​x^2+​4​x+​13}+​\sqrt{​x^2-​8​x+​41} = $

$=\sqrt{​(x+​2)^2+​9}+​\sqrt{​(x-4)^2 + 25}$

Ο πρώτος όρος $\sqrt{​(x+​2)^2+​9}$ είναι η απόσταση του σημείου $(x,0)$ από το σημείο $(-2,-3)$ και ο δεύτερος όρος  $\sqrt{​(x-4)^2 + 25}$ είναι η απόσταση του σημείου $(x,0)$ από το σημείο $(4,-5)$.

Προφανώς το άθροισμα της απόστασης από το $(x,0)$ είναι χαμηλότερο όταν τα $(x,0), (-2,3)$ και $(4,5)$ βρίσκονται σε ευθεία γραμμή που είναι (x,0) είναι στην ευθεία από ( -2,3) έως (4,5) τώρα καθώς το (x,0) βρίσκεται μεταξύ της ελάχιστης απόστασης από (-2.-3) έως (4,5)

δηλαδή 

$\sqrt{​(4+​2)^2+ (5+​3)^29}=\sqrt{100}=10$.