Ένας κύκλος είναι εγγεγραμμένος σε ένα ισόπλευρο τρίγωνο του οποίου το μήκος πλευράς είναι $2$. Στη συνέχεια εγγράφεται ένας άλλος κύκλος εξωτερικά εφαπτόμενος στον πρώτο κύκλο αλλά μέσα στο τρίγωνο όπως φαίνεται στο σχήμα.
Εκφράστε την απάντησή σας ως ακριβές πολλαπλάσιο του $π$.
2007 UNCO Math Contest II
1 σχόλιο:
Tο εμβαδόν του ισόπλευρου είναι $\sqrt{3}$. Aπό τον τύπο $Ε=τρ$ προκύπτει η ακτίνα του μεγαλύτερου κύκλου $\dfrac{1}{\sqrt{3}}$. Λόγω ισοπλεύρου το κέντρο του εγγεγραμμένου κύκλου είναι το βαρύκεντρο του τριγώνου και χωρίζει το κοινό ύψος-διάμεσο σε λόγο 2:1. Επίσης το σημείο επαφής των δύο μεγαλύτερων κύκλων απέχει από την αντίστοιχη κορυφή
ΑπάντησηΔιαγραφή$\sqrt{3}-\dfrac{2}{\sqrt{3}}=\dfrac{1}{\sqrt{3}}$.
Άρα το κάθε ύψος από το κέντρο και το σημείο επαφής τριχοτομείται. Έτσι από την ομοιότητα των ορθογωνίων τριγώνων με κορυφές (κορυφή τριγώνου, κέντρο εγγεγραμμένου, ίχνος ύψους) προκύπτει ότι η ακτίνα του δεύτερου κύκλου ισούται με $\dfrac{1}{3\sqrt{3}}$. Έτσι το ζητούμενο άθροισμα είναι άπειρων όρων φθίνουσας ΓΠ με 1ο όρο $\dfrac{1}{3}$ και λόγο $\dfrac{1}{9}$ πολλαπλασιασμένο επί π, δηλαδή $\dfrac{3π}{8}$.