Προετοιμασία για τους μαθηματικούς διαγωνισμούς της Ε.Μ.Ε: 9ο ΤΕΣΤ Εξάσκησης (μεγάλοι)

ΘΕΜΑ 1

Οι διαφορετικοί ανά δύο θετικοί ακέραιοι  με  είναι τέτοιοι ώστε

 και 

Να αποδείξετε ότι δεν υπάρχει τρίγωνο με μήκη πλευρών  και 

ΘΕΜΑ 2

Να δείξετε ότι δεν υπάρχει άπειρη ακολουθία πρώτων αριθμών  τέτοια ώστε για κάθε θετικό ακέραιο  να ισχύει:

 ή 

ΘΕΜΑ 3

Θεωρούμε εγγράψιμο τετράπλευρο  και έστω  και  τα μέσα των διαγωνίων  και  αντίστοιχα.

Αν  να αποδείξετε ότι 

ΘΕΜΑ 4

Στην τελευταία Μαθηματική Ολυμπιάδα συμμετείχαν 300 μαθητές. Παρατηρήθηκε ότι ανάμεσα σε  οποιουσδήποτε μαθητές, υπήρχαν δύο που δεν γνωρίζονταν μεταξύ τους. Έστω  το πλήθος των γνωστών του  στού μαθητή.

Αν  να βρείτε τη μέγιστη δυνατή τιμή του 

 Επιμέλεια: Θανάσης Κοντογεώργης 

Πηγή: mathematica