Σε ένα κυρτό πεντάγωνο περιμέτρου $10$, κάθε διαγώνιος είναι παράλληλη με μία από τις πλευρές.
(A) $5(1+ \sqrt{5})$ (B) $\dfrac{5}{2}(1+ \sqrt{5})$
(Γ) $\dfrac{5}{2}(2\sqrt{5}-1)$ (Δ) $5(2\sqrt{5}-1)$
1 σχόλιο:
Το κάθε σημείο τομής 2 διαγωνίων τη χωρίζει σε μέσο και άκρο λόγο, δηλαδή αν δ το μήκος της και το μεγαλύτερο τμήμα είναι ίσο με την πλευρά της λόγω σχηματιζόμενου ρόμβου, ισχύει ότι:
ΑπάντησηΔιαγραφή$\dfrac{δ}{λ_{5}}=\dfrac{λ_{5}}{δ-λ_{5}}$<=>
με την αντικατάσταση $λ_{5}=2$ προκύπτει η εξίσωση $δ^{2}-2δ-4=0$ με δεκτή λύση το $1+\sqrt{5}$, άρα το Α σωστό.
Ο σταθερός αυτός λόγος είναι ο χρυσός αριθμός
$φ=\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}$.