Τεστ εξάσκησης για την Ελληνική Μαθηματική Ολυμπιάδα «ΑΡΧΙΜΗΔΗΣ» των μικρών (κάτω των 15,5 ετών) - 20ο ΤΕΣΤ

ΘΕΜΑ 1ο

Δύο φίλοι, ο Αλέξανδρος και ο Βασίλης παίζουν το παρακάτω παιχνίδι:

Σε ένα πίνακα  ένα πιόνι βρίσκεται αρχικά στο κάτω αριστερά τετράγωνο. Οι δύο φίλοι μετακινούν το πιόνι εναλλάξ, ξεκινώντας από τον Αλέξανδρο. 

Σε κάθε κίνηση, το πιόνι μπορεί να μετακινηθεί κατά μία θέση είτε προς τα πάνω, είτε δεξιά, είτε στο επάνω δεξιά (διαγώνια) τετράγωνο, εφόσον παραμένει στον πίνακα. Ο πρώτος παίκτης που μετακινεί το πιόνι στο τετράγωνο της πάνω δεξιάς γωνίας του πίνακα κερδίζει το παιχνίδι. Ποιος από τους δύο φίλους έχει στρατηγική νίκης;

ΘΕΜΑ 2ο

Να προσδιορίσετε όλους τους θετικούς ακεραίους που δεν μπορούν να γραφούν στη μορφή

όπου  θετικοί ακέραιοι.

ΘΕΜΑ 3ο

Έστω  ορθογώνιο τρίγωνο με  και  και  το ημικύκλιο διαμέτρου  που βρίσκεται προς την μεριά του  Το σημείο  ανήκει στο  και ισχύει  ενώ το σημείο  βρίσκεται στην  έτσι ώστε 

Να αποδείξετε ότι το μέσο του  ανήκει στο 

ΘΕΜΑ 4ο

Αν  τέτοιοι ώστε , να βρείτε την ελάχιστη και τη μέγιστη τιμή της παράστασης

 Επιμέλεια: Θανάσης Κοντογεώργης 

Πηγή: mathematica