Τεστ εξάσκησης για την Ελληνική Μαθηματική Ολυμπιάδα «ΑΡΧΙΜΗΔΗΣ» των μικρών (κάτω των 15,5 ετών) - 21ο ΤΕΣΤ

ΘΕΜΑ 1ο

Οι πραγματικοί αριθμοί , ,  είναι διαφορετικοί από το  και ισχύει:

(1) 

(2) 

Να βρείτε όλες τις δυνατές τιμές της παράστασης

  

ΘΕΜΑ 2ο

Να βρείτε όλα τα ζεύγη θετικών ακεραίων , για τα οποία ο αριθμός  είναι πολλαπλάσιο του .

ΘΕΜΑ 3ο

Να βρείτε τον μικρότερο θετικό ακέραιο  με την ιδιότητα:

Αν βάψουμε μαύρα ακριβώς  κελιά ενός πίνακα  τότε υπάρχει οπωσδήποτε ένα  τετράγωνο με τουλάχιστον τρία μαύρα κελιά.

ΘΕΜΑ 4ο

Σε ένα τρίγωνο , η εξωτερική διχοτόμος της γωνίας  τέμνει την ευθεία  στο . Τα ίχνη των καθέτων από τα σημεία  και  στην ευθεία  είναι τα  και , αντίστοιχα, ενώ το ίχνος της κάθετης από το  στην  είναι το .

Να αποδείξετε ότι 

.

 Επιμέλεια: Θανάσης Κοντογεώργης 

Πηγή: mathematica