Τεστ εξάσκησης για την Ελληνική Μαθηματική Ολυμπιάδα «ΑΡΧΙΜΗΔΗΣ» των μικρών (κάτω των 15,5 ετών) - 22ο ΤΕΣΤ

ΘΕΜΑ 1ο

Να βρείτε όλους τους πραγματικούς αριθμούς  για τους οποίους η εξίσωση

   

έχει τέσσερις, διαφορετικές ανά δύο, πραγματικές ρίζες.

ΘΕΜΑ 2ο

Χρωματίζουμε κάθε θετικό ακέραιο με ένα από τρία χρώματα.

Να αποδείξετε ότι υπάρχουν δύο διαφορετικοί αριθμοί, του ίδιου χρώματος, των οποίων η διαφορά είναι τέλειο τετράγωνο.

ΘΕΜΑ 3ο

Ο Ευρύμαχος τοποθέτησε  μπάλες, αριθμημένες  σε  κουτιά έτσι ώστε δύο οποιαδήποτε κουτιά να περιέχουν μία τουλάχιστον μπάλα με τον ίδιο αριθμό. Να προσδιορίσετε την ελάχιστη τιμή του .

ΘΕΜΑ 4ο

Θεωρούμε οξυγώνιο τρίγωνο  Έστω  και  το περίκεντρο και το έγκεντρο του τριγώνου  αντίστοιχα, και  τα ίχνη των υψών από τις κορυφές  και  αντίστοιχα. Η ευθεία  τέμνει τον περιγεγραμμένο κύκλο του τριγώνου  στο σημείο  ενώ η  τέμνει την  στο  Αν  να βρείτε τα μέτρα των γωνιών του τριγώνου 

 Επιμέλεια: Θανάσης Κοντογεώργης 

Πηγή: mathematica