Του Ηλία Ζωβοΐλη
Δίνεται συνάρτηση $f: (0, +\infty)$ με τύπο
$f (χ) = ln(αe^χ —lnχ )$, $α > 0$
για την οποία γνωρίζετε ότι η ευθεία με εξίσωση $ψ = χ$, είναι ασύμπτωτη της $C_f$ στο $+\infty$.
Α. Να αποδείξετε ότι $α =1$.
Β. Αν $χ > 0$,να αποδείξετε ότι η εξίσωση
$e^χ = \dfrac{1}{χ}$ (1)
έχει μοναδική ρίζα $χ_0$, η οποία ανήκει στο διάστημα $(0,1)$.
Στα παρακάτω ερωτήματα να θεωρήσετε ότι το $χ_0$ είναι η μοναδική ρίζα της εξίσωσης (1).
Γ. Να αποδείξετε ότι για κάθε $χ > 0$ ισχύει:
$f (χ) \geq ln(e^{χ_0} +χ_0$
Δ. Αν γνωρίζετε ότι η εξίσωση
$χ_0 • e^{f(χ)} = χ_0^2 + λ$
έχει μία το πολύ ρίζα στο $(0, +\infty)$, να βρείτε τη μέγιστη τιμή που μπορεί να πάρει ο πραγματικός αριθμός λ.
Πηγή: Μαθη(μα)τικά θέματα
Δεν υπάρχουν σχόλια:
Δημοσίευση σχολίου