Θέτοντας y=0: f(x^2/2)= f(0)-x^2, για κάθε πραγματικό αριθμό x, άρα f(y)=-2y+f(0), για κάθε μη αρνητικό y. Θέτοντας y=-x: f(-x^2)=f(x^2)+4x^2, για κάθε πραγματικό αριθμό x, άρα f(-x^2)=f(0)+2x^2, για κάθε πραγματικό x , οπότε f(y)=-2y+f(0), για κάθε αρνητικό y. Τελικά, f(y)=-2y+f(0)=-2y+c, για κάθε πραγματικό αριθμό y, όπως μας είπε ο φίλος πιο πάνω...η οποία προφανώς ικανοποιεί την συναρτησιακη σχέση.
Μια διαφορετική λύση ... Θέτουμε xy=u και (x^2 +y^2)/2 =w (1) η σχέση μας γίνεται f(u)=f(w)+2w-2u (2) ισοδύναμα (f(u)-f(w))/(u-w) =-2 (για u διάφορο του w), που αποτελεί το συντελεστή διεύθυνσης ευθείας με y=f(x)= -2x+c Τώρα για u=w η σχέση (2) ικανοποιείται προφανώς για οποιαδήποτε f και άρα και από την f(x)= -2x+c. Συνεπώς η οικογένεια των συναρτήσεων που ικανοποιεί την συναρτησιακή σχέση έχει τύπο f(x)= -2x+c
5 σχόλια:
f(x)=-2x+c
ΑπάντησηΔιαγραφήΘέτοντας y=0: f(x^2/2)= f(0)-x^2, για κάθε πραγματικό αριθμό x, άρα f(y)=-2y+f(0), για κάθε μη αρνητικό y.
ΑπάντησηΔιαγραφήΘέτοντας y=-x: f(-x^2)=f(x^2)+4x^2, για κάθε πραγματικό αριθμό x, άρα f(-x^2)=f(0)+2x^2, για κάθε πραγματικό x , οπότε f(y)=-2y+f(0), για κάθε αρνητικό y.
Τελικά, f(y)=-2y+f(0)=-2y+c, για κάθε πραγματικό αριθμό y, όπως μας είπε ο φίλος πιο πάνω...η οποία προφανώς ικανοποιεί την συναρτησιακη σχέση.
Αυτό το σχόλιο αφαιρέθηκε από τον συντάκτη.
ΑπάντησηΔιαγραφήΑυτό το σχόλιο αφαιρέθηκε από τον συντάκτη.
ΑπάντησηΔιαγραφήΜια διαφορετική λύση ...
ΑπάντησηΔιαγραφήΘέτουμε xy=u και (x^2 +y^2)/2 =w (1)
η σχέση μας γίνεται f(u)=f(w)+2w-2u (2) ισοδύναμα
(f(u)-f(w))/(u-w) =-2 (για u διάφορο του w), που αποτελεί το συντελεστή διεύθυνσης ευθείας με y=f(x)= -2x+c
Τώρα για u=w η σχέση (2) ικανοποιείται προφανώς για οποιαδήποτε f και άρα και από την f(x)= -2x+c.
Συνεπώς η οικογένεια των συναρτήσεων που ικανοποιεί την συναρτησιακή σχέση έχει τύπο
f(x)= -2x+c