Τεστ εξάσκησης για την Ελληνική Μαθηματική Ολυμπιάδα «ΑΡΧΙΜΗΔΗΣ» των μικρών (κάτω των 15,5 ετών) - 35ο ΤΕΣΤ

ΘΕΜΑ 1ο

Σε 11 κομμάτια χαρτί είναι γραμμένες 11 προτάσεις (μία σε κάθε χαρτί).

1) Αριστερά αυτού του φύλλου δεν υπάρχουν ψευδείς προτάσεις

2) Ακριβώς ένα φύλλο αριστερά αυτού περιέχει ψευδή πρόταση.

3) Ακριβώς 2 φύλλα αριστερά αυτού περιέχουν ψευδείς προτάσεις.

…

11) Ακριβώς 10 φύλλα αριστερά αυτού περιέχουν ψευδείς προτάσεις.

Τα φύλλα με κάποια διάταξη τοποθετήθηκαν στη σειρά, από αριστερά προς τα δεξιά. Έπειτα από αυτήν την τοποθέτηση από τις γραμμένες προτάσεις κάποιες έγιναν αληθείς και κάποιες ψευδείς. Ποιος είναι ο μέγιστος δυνατός αριθμός αληθών προτάσεων;

ΘΕΜΑ 2ο

Θεωρούμε ορθογώνιο τρίγωνο  , τύπου  , το ύψος  προς την υποτείνουσα  και τις προβολές  του  στις  αντίστοιχα. Η  τέμνει τον περίκυκλο του τριγώνου το σημείο  .

Υπολογίστε τον λόγο :

   .

ΘΕΜΑ 3ο

Θεωρούμε τους πραγματικούς αριθμούς , με άθροισμα μηδέν, και τέτοιους ώστε  για κάθε .

Να δείξετε ότι

  . 

Είναι δυνατή η ισότητα;

ΘΕΜΑ 4ο

Να βρείτε όλα τα ζεύγη ακεραίων  για τα οποία ισχύει

  

 Επιμέλεια: Θανάσης Κοντογεώργης 

Πηγή: mathematica